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Nombre de valeurs propres possibles



  1. #1
    CosMayou

    Question Nombre de valeurs propres possibles


    ------

    Bonjour,

    Je me demande comment on peut montrer que pour un endomorphisme u d'un espace vectoriel E de dimension finie n, u admet au plus n valeurs propres distinctes.

    Je sais c'est tout bête mais j'y arrive pas...

    Merci d'avance !

    -----

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  4. #2
    taladris

    Re : Nombre de valeurs propres possibles

    Hello,

    les valeurs propres sont les racines du polynômes caractéristiques, qui est de degré n. Donc il admet au plus n racines.

  5. #3
    Linkounet

    Re : Nombre de valeurs propres possibles

    si il en admettait plus, sachant que les espaces propres associés sont de dimensions au moins 1 et d'intersection réduite à {0} (<=> sont en somme directe), il serait de dimension supérieur à n. Contradiction.

  6. #4
    taladris

    Re : Nombre de valeurs propres possibles

    Citation Envoyé par Linkounet Voir le message
    d'intersection réduite à {0} (<=> sont en somme directe), il serait de dimension supérieur à n.
    Attention, si on a plus de deux sous-espaces, le fait d'être en somme directe n'est pas équivalent à ce que l'intersection de tous les sous-espaces soit réduite à {0}

    Par exemple, dans R², tu peux considérer Vect(e_1), Vect(e_2) et Vect(e_1+e_2), où (e_1, e_2) est une base de R². L'intersection est réduite au vecteur nul mais les trois espaces ne sont pas en somme directe.

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  8. #5
    CosMayou

    Re : Nombre de valeurs propres possibles

    Ouais c'est vrai c'est pas une caractérisation valide pour plus de 2 sous-espaces...

    En tout cas merci pour vos réponses taladris et Linkounet

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