Nombre de valeurs propres possibles

[CosMayou]

Bonjour,

Je me demande comment on peut montrer que pour un endomorphisme u d'un espace vectoriel E de dimension finie n, u admet au plus n valeurs propres distinctes.

Je sais c'est tout bête mais j'y arrive pas...

Merci d'avance !
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[taladris]

Hello,

les valeurs propres sont les racines du polynômes caractéristiques, qui est de degré n. Donc il admet au plus n racines.

[Linkounet]

si il en admettait plus, sachant que les espaces propres associés sont de dimensions au moins 1 et d'intersection réduite à {0} (<=> sont en somme directe), il serait de dimension supérieur à n. Contradiction.

[taladris]

d'intersection réduite à {0} (<=> sont en somme directe), il serait de dimension supérieur à n.

Attention, si on a plus de deux sous-espaces, le fait d'être en somme directe n'est pas équivalent à ce que l'intersection de tous les sous-espaces soit réduite à {0}

Par exemple, dans R², tu peux considérer Vect(e_1), Vect(e_2) et Vect(e_1+e_2), où (e_1, e_2) est une base de R². L'intersection est réduite au vecteur nul mais les trois espaces ne sont pas en somme directe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[CosMayou]

Ouais c'est vrai c'est pas une caractérisation valide pour plus de 2 sous-espaces...

En tout cas merci pour vos réponses taladris et Linkounet