Rang d'une matrice=nombre de valeurs propres non nulles?

[invite648e0858]

Bonjour,
j'ai lu dans un livre que le rang d'une matrice représente le nombre de valeurs propres non nulles. Toutefois il n'y a pas de précision sur le corps de base. En essayant de montrer ce résultat (en passant par la dimensions des sous espaces propres), je remarque que ceci est vrai lorsque la matrice est diagonalisable. Mais par contre lorsqu'elle ne l'est pas, les considérations de dimensions s'averent inéfficaces.
Ma méthode de démonstration est-elle inadaptée ou bien ce résultat n'est il pas généralisable?
Merci de vos réponses
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[invite57a1e779]

Que penses-tu, quel que soit le corps de base, du nombre de valeurs propres non nulles et du rang de la matrice : ?

[invite648e0858]

Matrice de rang 1 et deux valeurs propres nulles!
Ce résultat est-il donc totalement erronné?

[invite57a1e779]

Le résultat est valable lorsque 0 est racine simple du polynôme minimal.

[A voir en vidéo sur Futura]

[leon1789]

Même si 0 est racine simple, le résultat est encore être faux : considérée sur le corps des réels...

[invite1294feb1]

Salut

on est d'accord que le Ker d'une matrice représente le sous espace-propre associé à la valeur propre 0, mais alors pourquoi ce que dit l'auteur n'est pas vrai ?
Si les valeurs propres nulles sont associées au Ker (en gros c'est le nombre de colonnes liées), pourquoi celles qui ne sont pas associées au Ker ne sont pas forcément non nulles ?

[invite0b618583]

Regarde la première matrice donnée comme exemple. Le noyau est bien l'espace propre associé à 0. Mais si la matrice n'est pas diagonalisable il n'y a pas de raison qu'il y ait d'autres valeurs propre que 0, même si la matrice est de rang non nul.