vecteurs propres, valeurs propres, ellipsoide

[Heimdall]

Salut,

Si M est une matrice 3x3 reelle et symetrique. Alors on peut toujours la diagonaliser.
De plus les vecteurs propres seront orthogonaux (par symetrie de la matrice).

ok...

Ma question : peut-on toujours visualiser les vecteurs propres de cette matrice comme les axes principaux d'un ellipsoide ? L'axe d'elongation principale etant donne par le vecteur propre correspondant a la valeur propre la plus grande ? ou dit autrement, les valeurs propres de la matrice correspondent chacunes a l'elongation de l'ellipsoide le long des vecteurs propres ?

Vrai ou faux ?


Question corolaire :

Toujours a propos de cette matrice 3x3 symetrique et reelle. Si j'ai une base de 3 vecteurs dont l'un est aligne sur l'axe d'elongation principale d'un ellipsoide, alors d'apres ce que j'ai dit precedemment, ce vecteur est un des trois vecteurs propres de la matrice. Prenons les deux autres vecteurs de la base de sorte a former un trierdre direct orthonorme, mais au pif dans le plan perp au vecteur de l'axe principal. Dans ce cas, ma matrice n'est pas diagonale (vrai ?) sauf si par bol mes deux derniers vecteurs de base sont les vecteurs propres restant.... et pour trouver les vecteurs propres restants, je peux faire une rotation autour de l'axe principal, vrai ? Alors pendant cette rotation les termes hors diagonaux diminuent au profit des termes diagonaux ? Est-ce que les termes hors diagonaux, lorsqu'ils sont non nuls, representent en quelque sorte la projection de mes vecteurs de base choisis au pif sur les vecteurs propres ? Une sorte de combinaison lineaire des vecteurs propres ? Je m'imagine visuellement qu'en tournant ma base autour de l'axe principal, mes vecteurs de base se projettent plus ou moins sur les vecteurs propres selon l'ecart angulaire entre les deux bases, ce qui a pour effet d'augmenter ou de diminuer les termes hors diagonaux.


J'espere avoir ete clair... je voulais piger ca avec les mains
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[invite4ef352d8]

Pour pouvoir la les vecteur propres et valeur propres comme les axes et leurs longeur d'un elipsoide, il faut que les valeur propres soit toute des réel strictement positif, c'est à dire que la matrice soit défini positive.

donc ce cas, l'elipsoide en question est l'ensemble des x tel que (x,A^(-1) x)=1

pour ta deuxième question : en oui en gros, pour le voir plus clairement, il suffit de faire le calcule (c'est pas trop compliqué)

[Heimdall]

Merci de ta reponse !

Une question legerement differente maintenant, mais toujours plutot sur le meme sujet.

Supposons que j'ai un plan (x,y) sur lequel pour chaue position x et y j'ai une matrice 3x3 reelle symetrique aux valeurs propres positives (une matrice de covariance pour etre precis en fait). La matrice est exprimee dans la base (ex, ey, ez) et j'aimerais en tout point x,y la diagonaliser. J'ajoute qu'en tout point (x,y) les valeurs de la matrice sont un peu "bruitees", c'est a dire qu'elles sont chacune proche d'une certaine valeur theorique mais avec un petit epsilon aleatoire positif ou negatif ajoute a cette valeur. Ma question est la suivante :

De combien les vecteurs propres sont-ils sensibles au bruit present dans mes matrices ?

Exemple concret : a un (x,y) j'ai une matrice qui devrait theoriquement etre diagonale et en faite un multiple de l'identite, dans ma base (ex,ey,ez). Hors a cause de ce leger bruit, elle n'est pas tout a fait diagonale, les elements hors diagonale sont environ 1e-2 et dans la diagonale environ l'unite. De meme, les elements dans la diagonale ne sont pas tout a fait egaux entre eux. Si je diagonalise la matrice "parfaite" que je devrais avoir sans ce bruit, alors je devrais avoir des vecteurs de base egaux a ma base (ex,ey,ez) oui (*) ? En ajoutant ce leger bruit qui rempli tres legerement la matrice et change la diagonale, si le bruit est de l'ordre d'epsilon, de combien mes vecteurs propres peuvent changer ? Est-ce qu'un petit epsilon peut mener a une base propre totalement differente en d'autre termes ?

(*) En fait peut-etre pas car si la matrice est isotrope, alors n'importe quel vecteur non nul est vecteur propre (symetrie spherique) et donc a priori rien ne garantie que la methode numerique qui diagonalise n'aboutisse a ma base d'origine, vrai ?


Merci