Salut,
Si M est une matrice 3x3 reelle et symetrique. Alors on peut toujours la diagonaliser.
De plus les vecteurs propres seront orthogonaux (par symetrie de la matrice).
ok...
Ma question : peut-on toujours visualiser les vecteurs propres de cette matrice comme les axes principaux d'un ellipsoide ? L'axe d'elongation principale etant donne par le vecteur propre correspondant a la valeur propre la plus grande ? ou dit autrement, les valeurs propres de la matrice correspondent chacunes a l'elongation de l'ellipsoide le long des vecteurs propres ?
Vrai ou faux ?
Question corolaire :
Toujours a propos de cette matrice 3x3 symetrique et reelle. Si j'ai une base de 3 vecteurs dont l'un est aligne sur l'axe d'elongation principale d'un ellipsoide, alors d'apres ce que j'ai dit precedemment, ce vecteur est un des trois vecteurs propres de la matrice. Prenons les deux autres vecteurs de la base de sorte a former un trierdre direct orthonorme, mais au pif dans le plan perp au vecteur de l'axe principal. Dans ce cas, ma matrice n'est pas diagonale (vrai ?) sauf si par bol mes deux derniers vecteurs de base sont les vecteurs propres restant.... et pour trouver les vecteurs propres restants, je peux faire une rotation autour de l'axe principal, vrai ? Alors pendant cette rotation les termes hors diagonaux diminuent au profit des termes diagonaux ? Est-ce que les termes hors diagonaux, lorsqu'ils sont non nuls, representent en quelque sorte la projection de mes vecteurs de base choisis au pif sur les vecteurs propres ? Une sorte de combinaison lineaire des vecteurs propres ? Je m'imagine visuellement qu'en tournant ma base autour de l'axe principal, mes vecteurs de base se projettent plus ou moins sur les vecteurs propres selon l'ecart angulaire entre les deux bases, ce qui a pour effet d'augmenter ou de diminuer les termes hors diagonaux.
J'espere avoir ete clair... je voulais piger ca avec les mains![]()
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