Matrice carrée

[invite3342f9e7]

Bonjour,

je suis élève en PCSI

Je bloque sur un dm traitant des matrices carrées, voici l'énoncé:
Soient u = (x,y) et v = (x',y') deux vecteurs du plans. On suppose u et v orthogonaux et normés. Montrer alors que u' = (x,x') et v' = (y,y') sont également orthogonaux et normés.
(On pourra considérer les matrices A (x,x',y,y') et B(x,y,x',y'))

J'ai eu l'idée de poser le produit scalaire de u et de v qui vaut 0 car les vecteurs sont orthogonaux on a alors xx'+yy'=0 et on a aussi que les déterminants de A et de B sont égaux et valent xy'-yx'.
Enfin je n'arrive pas a montrer que xy+x'y'=0 ce qui résoudrait la question.

Merci de votre réponse.
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[invite3342f9e7]

De plus, je dois trouver des conditions simples vérifiés par les coefficients a,b,c,d d'une matrice A qui commute avec toutes les autres en procédant par analyse et synthèse.
On peut considérer les matrices E1,1(1,0,0,0) E1,2(0,1,0,0) E2,1(0,0,1,0) et E2,2(0,0,0,1) et calculer les produits Ei,j*A et A*Ei,j
J'ai fait ces calculs mais je ne trouve pas les conditions simples demandées.
Merci
Cordialement
Fodge

[invitec336fcef]

Bonjour,

je vous donne une indication pour le second problème, c'est-à-dire trouver toutes les matrices de M2 qui commutent avec toutes les autres.

Il faut utiliser la base de M2, qui sont effectivement les matrices Ei,j =

Calculer d'abord le produit Ei,j x Ek,l

ensuite, vous choisissez une matrice M tel que M = . Cette matrice doit commuter avec toutes les matrices de M2 (c'est ce que vous devez démontrer). En particulier, elle doit commuter avec Ek,l. En écrivant l'égalité qui traduit la commutativité, vous ferez apparaître des produits Ei,j x Ek,l qui se simplifient. Enfin, vous devriez trouver les conditions sur les coefficients de M.

Il me semble, à vue d'oeil de physicien (et oui je ne suis pas matheux), que vous devez trouver que les seuls matrices qui commutent avec les autres de M2 sont les matrices diagonales.

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[invite3342f9e7]

Merci de votre réponse mais je n'ai pas compris à quoi correspond la matrice Ek,l

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec336fcef]

ben

est une matrice identique sauf que c'est

++

[invite3d4a2616]

Quant à la 1ere partie de la question, comme tu l'as remarqué, si on prouve que xy+x'y'=0, c'est gagné.

Ce que je te propose (mais il y certainement plus rapide ...):

xx'+yy'=0 (*) implique (xx'+yy')(xy')=0 donc x²x'y'+xyy'²=0 d'où (1-y²)y'x'+xy(1-x'²)=0 car x²+y²=x'²+y'²=1.

On a donc : y'x'-y²y'x'+xy-x'²xy=0. Or xx'=-yy' d'après (*). Donc y'x'+yx'²x+xy-x'²xy=0 soit x'y' + xy = 0.

En n'espérant ne pas m'être trompé dans les "primes" ou autre dvpt.

Ps : j'ai peut être tourné en rond à un moment donné

[invitec336fcef]

ERRATUM

Je viens de me rendre compte que j'ai mal écrit mes matrices Ei,j.

On a

En fait le terme en i,j est égal à 1, tous les autres sont nuls. J'avais écris que Ei,j représentait les matrices diagonales, ce qui était une grave erreur !!

excusez moi.

[invite3342f9e7]

Merci je comprends mieux mais j'aurais une question je ne comprends pas ce que vous voulez dire par M = Somme (i,j des aij * Eij)
désolé je ne connais pas le signe sigma sur l'ordinateur.
Merci d'avance
Fodge