Triangulariser une matrice carrée

[invite0dd81b3b]

Bonjour à tous, je suis en première année de Licence Math-Physique et j'ai un problème pour triangulariser une matrice carrée.

Ma matrice :
( 3 1 )
( -1 1 )

Donc 1ere étape : je calcule le pôlynome caractéristique et je trouve comme racines : 2 ( de multiplicité 2)

J'ai donc lambda = 2

Je fais Ker(p-lambda*Id)=0 pour avoir mes vecteurs propres et je tombe sur l'équation suivante : x=-y

Or les vecteurs que je vais créer à partir de cette équation ne forment pas une base... Comment faire ?

Merci d'avance.
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[invitec317278e]

tu veux trigonaliser, et non diagonaliser, il te suffit donc de trouver un vecteur propre, qui sera la première colonne de ta matrice.

[invite0dd81b3b]

Ok donc il faut pas que je fasse ça. Mais comment le trouver ce vecteur propre ?

[invite7ffe9b6a]

Bonjour à tous, je suis en première année de Licence Math-Physique et j'ai un problème pour triangulariser une matrice carrée.

Ma matrice :
( 3 1 )
( -1 1 )

Donc 1ere étape : je calcule le pôlynome caractéristique et je trouve comme racines : 2 ( de multiplicité 2)

J'ai donc lambda = 2

Je fais Ker(p-lambda*Id)=0 pour avoir mes vecteurs propres et je tombe sur l'équation suivante : x=-y

Or les vecteurs que je vais créer à partir de cette équation ne forment pas une base... Comment faire ?

Merci d'avance.

Tu as répondu toi même a la question tu as un vecteur propre pour la valeur propre 2.

( le vecteur (1,-1) par exemple ).

Tu remarques a juste titre que la dimension de ton espace propre est 1 . Donc que tu ne parviendras pas a former une base de vecteur propre donc que la matrice n est pas diagonalisable.
Tu veux trigonaliser:

Complete {(1,-1)} en une base de l'espace . La matrice que tu obtiendras sera de la forme:

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0dd81b3b]

Alors, j'ai pris comme vecteur pour compléter en une base :{0;1}

Donc j'ai une base. Ensuite j'ai calculé p({0;1}) et je l'ai exprimé en fonction de {1;-1} et {0;1} j'ai trouvé une matrice triangulaire. C'est ça non? Merci en tout cas pour les conseils c'est sympa.

[invite6f25a1fe]

Pour triangulariser une matrice, il faut aller voir du côté des sous-espaces caractéristiques et de la jordanisation d'une matrice. Fait une recherche sur ce forum, j'avais expliqué tout ca dans un post il y a quelques temps.
bon courage

P.S : voila le lien sur Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9...e_Gauss-Jordan