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Parité du rang d'une matrice carrée



  1. #1
    Stratov

    Parité du rang d'une matrice carrée


    ------

    Bonjour à tous!!!
    Me revoici avec un petit problème qui consiste à prouver que le rang d'une matrice carrée d'ordre n est pair. La seule hypothèse est : A(A²+A+I)=0
    Où A est la matrice carrée et I la matrice identité. On travaille sur R

    Mon raisonnement :
    Tout d'abord on travaille sur R, donc le polynôme caractéristique peut ne pas s'annuler. Donc s'il ne s'annule pas il est de degré pair, car un polynôme caractéristique de degré impair s'annule au moins une fois.
    Donc je pense qu'il faut montrer que le polynôme caractéristique n'a pas de racines réelles, donc que la matrice A n'a pas de valeurs propres réelles.
    A partir de là je bloque un peu je ne vois pas trop comment partir. Si vous aviez quelques idées ça serait avec plaisir. Déja je pense différencier les cas de A inversible ou pas et peut-être utiliser la bijectivité, mais rien de sûr...

    Merci à tous!

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    ThSQ

    Re : Parité du rang d'une matrice carrée

    Les vp sont à prendre parmi 0,
    De déterminant est le produit des vps est réel donc les 2 vp complexes vont par paires => rang de la matrice = nombre de vp non nulles = pair.

  4. #3
    erff

    Re : Parité du rang d'une matrice carrée

    Bonjour, suffit de voir que le polynome est scindé à racines simples (0,j,j²) (dans C) donc A est diagonalisable dans C.
    Maintenant, en utilisant le fait que j²=j(barre), et que les vecteur X sont reels, tu trouves immédiatement que les sous espaces associés à j et j² sont de meme dimension, d'où le rang pair...

    Voilà

  5. #4
    Stratov

    Re : Parité du rang d'une matrice carrée

    En fait je vois pas pourquoi tu manipule j et j² sur R, et comment tu peux conclure

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    erff

    Re : Parité du rang d'une matrice carrée

    Je précise ma pensée : déjà, on travaille dans C, quitte à se remettre dans IR par la suite.

    Les racines du polynome sont (0,j,j²) sachant que j²=j(barre) : ce polynome est donc scindé à racines simples donc A est diagonalisable.
    NB : j est le complexe e^(2*i*Pi/3)

    - Les valeurs propres possibles de A sont donc 0,j,j²

    Soit Ej le sous espace associé à j
    Soit Ej² le sous espace associé à j²

    Soit X dans Ej

    AX=jX donc en conjuguant, il vient A(barre)X(barre)=j(barre)X(bar re)
    Comme A est reelle, il vient donc :
    AX(barre)=j²X(barre)

    Autrement dit si X est une valeur propre pour j, alors X(barre) est une valeur propre pour j², donc il y a "autant" de vecteurs propres pour j et j²...Donc les sous espaces associés à j et j² ont la même dimension...

    Or rg(A)=dim(Ej)+dim(Ej²)=2*dim(E j) qui est pair

    A est donc de rang pair (même si on travaille dans C, ca ne change rien, le rang ne dépend pas du contexte dans lequel on travaille)

  8. #6
    ThSQ

    Re : Parité du rang d'une matrice carrée

    Citation Envoyé par ThSQ Voir le message
    De déterminant est le produit
    Je voulais dire la trace est la somme des vps ....

  9. Publicité
  10. #7
    Stratov

    Re : Parité du rang d'une matrice carrée

    Alors j'ai mon prof qui me conseille de "s'intéresser à quelque chose de bijectif", mais à part considérer une matrice inversible ou pas je vois pas trop comment faire!
    C'est pas que je n'aime pas ta méthode mais j'avoue qu'elle n'est pas très clair pour moi.

  11. #8
    erff

    Re : Parité du rang d'une matrice carrée

    Le sous espace associé à j est isomorphe au sous espace associé à j²...ils sont donc de même dimension...donc le rang est pair.

    En effet soit
    Telle que

    f est bien définie, linéaire, et f est sa propre réciproque donc f est bijective...Donc Ej et Ej2 ont la même dimension.

  12. #9
    Stratov

    Re : Parité du rang d'une matrice carrée

    Bon ben à tête reposée ça rentre tout seul! Merci erff c'est parfait!

  13. #10
    bleh_

    Re : Parité du rang d'une matrice carrée

    Désolé du déterrage, mais, ayant des lacunes vis-à-vis de la diagonalisation j'aurais quelques questions.

    Citation Envoyé par erff Voir le message
    Je précise ma pensée : déjà, on travaille dans C, quitte à se remettre dans IR par la suite.

    Les racines du polynome sont (0,j,j²) sachant que j²=j(barre) : ce polynome est donc scindé à racines simples donc A est diagonalisable.
    Pourquoi A est diagonalisable ? Si je ne dis pas de bêtise on sait qu'une matrice l'est si son polynôme caractéristique est scindé et à racine simple, mais on ne sait pas si le polynôme que l'on a est la polynôme caractéristique de A, juste que c'en est un polynôme annulateur.
    NB : j est le complexe e^(2*i*Pi/3)

    - Les valeurs propres possibles de A sont donc 0,j,j²

    Soit Ej le sous espace associé à j
    Soit Ej² le sous espace associé à j²
    Pourquoi ne pas considérer E0 ?

    Soit X dans Ej

    AX=jX donc en conjuguant, il vient A(barre)X(barre)=j(barre)X(bar re)
    Comme A est reelle, il vient donc :
    AX(barre)=j²X(barre)

    Autrement dit si X est une valeur propre pour j, alors X(barre) est une valeur propre pour j², donc il y a "autant" de vecteurs propres pour j et j²...Donc les sous espaces associés à j et j² ont la même dimension...

    Or rg(A)=dim(Ej)+dim(Ej²)=2*dim(E j) qui est pair
    D'où vient cette formule ? dim(Ej)=multiplicité de Ej ? Et comme précédemment, pourquoi ne pas rajouter dim(E0) ?

    A est donc de rang pair (même si on travaille dans C, ca ne change rien, le rang ne dépend pas du contexte dans lequel on travaille)
    Voilà pour les questions de noobie.

  14. #11
    bleh_

    Re : Parité du rang d'une matrice carrée

    Personne ?

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