Probleme de Cauchy (EQDL 2 ASM)

[invite42f885fe]

Bonjour,

Je me rappelle avoir vu le problème de Cauchy :

y''+ay'+by = d (E)
y(xo)=yo
y'(x1)=y'1

Admet une unique solution.

Si je prend a,b constants.
Et si je prend d de la forme d(x)=P(x)e^(mx), avec m solution simple ou double de l'équation caractéristique...

Donc par exemple avec m solution double, pour trouver le second membre je pose fo(x) = Q(x)e^(mx)
Comme m est solution double en identifiant j'ai 1*Q''(x) = P(x)

D'où Q définie à un polynôme de degré 1 près.. (ux + v)

Ce qui me donne une solution générale pour (E) avec 4 constantes indeterminés... donc le problème de Cauchy ci dessus n'admet pas qu'une seule solution...


D'où ma question, est ce qu'il y a une explication où alors c'est ma mémoire qui a inventé cette forme du théorème ?

D'ailleurs si vous avez la démonstration du théorème de Cauchy pour les EQDL 1 et 2 sans second membre c'est bienvenue...


Merci
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[KerLannais]

Salut,

Ce n'est pas parce que tu as 4 paramètres que ton espace est de dimention 4. Considère par exemple le sous espace de suivant:

il est définit par 4 paramètres cela voudrait-il dire que est de dimension 4?
Cet ensemble n'a pas plus d'élément que l'ensemble

c'est juste dans le premier cas tu as une infinité de façon d'écrire un couple, par exemple pour (3,2) tu peux prendre
a=1,b=2,c=0,d=2 ou a=-2,b=5,c=1,d=1 ou ...
et dans le deuxième cas tu en a qu'une seule
a=3,b=2
mais n'empèche que c'est exactement le même ensemble.

J'ai eu des étudiants qui ont fait la même erreur de raisonnement, je n'ai jamais réussi à leur expliquer que quand on résout une équation avec second membre il suffisait d' UNE (et UNE SEULE et j'insiste UNE SEULE ET UNIQUE et on peut prendre CELLE QU'ON VEUT) solution particulière de l'équation avec second membre. Bien sûr en général on peut trouver plusieurs solutions particulières de l'équation avec second membre MAIS CA NE SERT A RIEN puisque au finale on trouve exactement les même solutions.

[aNyFuTuRe-]

y''+ay'+by = d (E)
y(xo)=yo
y'(x1)=y'1

Admet une unique solution.

Attention aussi: le problème de cauchy relatif a ton ED du 2nd ordre normalisée a coefficients continus est:
(E) et la donnée de y(xo)=yo et y'(xo)=zo (C'est le meme xo pour les 2 conditions... )

[KerLannais]

J'oubliais, pour la démonstration du théorème de Cauchy dans les cas particulier qui t'intéresse. Il faut démontrer qu'il y a existence et unicité d'une solution. Mais l'existence c'est pas la peine puisque tu as une méthode pour toujours trouver des solutions (c'est facile de montrer que ce sont des solutions en les réinjectant dans les équations) et tu as pu constater que tu arrivais toujours à trouver des solutions quelle que soit les conditions initiales (il est facile de vérifier également que l'espace de solutions qu'on obtient est toujours de dimension 2 et donc on peut toujours satisfaire les condition initiales). Je pense que ce qu'il te faut c'est la preuve de l'unicité. C'est d'ailleurs ce qui te pose problème apparemment. Voici une démo dans le cas de l'ordre 2 quand l'équation caractéristique a une racine double m.

Supposons que et soient solutions du problème



avec des constantes fixées (tels que a²-4b=0) et f une fonction continue (quelconque). On considère la fonction

alors,




de plus


donc z est solution de l'équation homogène avec des conditions initiales nulles. Pour montrer l'unicité il suffit de montrer que z=0 on aura alors . Je considère la fonction

avec m la racine double de l'équation caractéristique. On sait que



calculons




on a donc nécessairement avec u et v des constantes. Ainsi:



on en déduit que (1)
et

d'où

en multipliant par m cette équation et en la soutrayant à (1) on en déduit que u=0 puis v=0. Ainsi w et z sont nulles CQFD.

dans le cas où la condition initiale sur la dérivée est en et non en on est pas dans le cadre des hypothèses du théorème de Cauchy et il n'y a pas unicité. Par exemple, pour toute constante a, la fonction

est solution de

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite42f885fe]

Impeccable, merci beaucoup