Un problème de Cauchy

[Bleyblue]

Bonjour,

Si f désigne une fonction de dans telle que f(t) = 0 pour |t| < 1 je cherche à savoir si le problème de cauchy :




admet une et une seule solution si t est compri dans un voisinage de a dans le cas où :

a) a = b = 0
b) a = 2, b = 1

Pour le a) je peux simplement poser f = 0 (vu qu'on travail sur un intervalle centré en 0) et alors je détermine la solution générale (par séparation des variables) et on trouve deux solutions y = 0 ou y = t²/4 donc la réponse est non

mais pour le b) ?
Il faut que je montre que l'application : est lipschitzienne en y pour pouvoir répondre par l'affirmative non ? Ca me semble ardu

Et trouver deux fonctions solutions ne me semble pas possible, f étant inconnue.

merci
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[invite3476b812]

Bonjour Bleyblue, est ce que tu pourrais donner plus de precision sur le problème, le domaine de définition par exemple, et aussi y est prise comme fonction pas comme variable, donc on peut pas parler de la fonction (t,y)-->(y+f(t)²)^(1/2) car y est une fonction alors que f(t) est un nombre. et bonne chance

[invite6b1e2c2e]

mais pour le b) ?
Il faut que je montre que l'application : est lipschitzienne en y pour pouvoir répondre par l'affirmative non ? Ca me semble ardu

Et trouver deux fonctions solutions ne me semble pas possible, f étant inconnue.

merci

Salut,

Je ne vois rien là d'ardu. Tant que y ne vaut pas 0, ta fonction est clairement C^infini, donc il n'y a pas de problème. Les problèmes arrivent quand la constante de lipschitz explose, ou en d'autres termes (disons que c'est presque équivalent au sens où dans la plupart des situations c'est vrai) quand la dérivée par rapport à y explose.

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rvz

[Bleyblue]

Bonjour Bleyblue, est ce que tu pourrais donner plus de precision sur le problème, le domaine de définition par exemple,

Eh bien en fait c'est une ancienne question d'examen d'analyse (que je m'entraîne à refaire) et la question est posée telle qu'elle

donc on peut pas parler de la fonction (t,y)-->(y+f(t)²)^(1/2) car y est une fonction alors que f(t) est un nombre. et bonne chance

Je pense qu'ici on veut plutôt parler de la fonction :

Je ne vois rien là d'ardu. Tant que y ne vaut pas 0, ta fonction est clairement C^infini, donc il n'y a pas de problème

Ah oui juste ça. Donc, en fait, la justification exacte c'est que la fonction



est C ^infini (et donc à fortiori C¹) sur une boule ouverte centrée en (2,3) ne contenant pas x = 0 et donc localement lipschitzienne sur cette boule.

C'est ça ou je suis à côté ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Tout à fait. Après, si tu regardes quel est l'intervalle de définition maximale, c'est plus délicat, parce qu'il faut regarder si y approche de 0, et si oui, à quelle vitesse, etc...
Ici, après très rapide concertation avec moi-même, je pense que le temps maximal d'existence est +infini si ta donnée initiale est positive, et sinon, c'est chiant !

__
rvz

[Bleyblue]

Oui il y a une partie de mon cours qui traite de cela mais je ne pense pas que ce soit au programme

merci !