Détermination de fonctions

[invitee011f7c7]

bonsoir a tous...
pourriez vous m'aider a determiner les fonction indéfiniment derivables telles que pour tout x et y reels on ait
integrale de f(t) entre x et y = (y-x)/6 * (f(x)+f(y)+4*f((x+y)/2))
je pense que ce sont les polynomes de degrés 3 (j'ai reussi a montré qu'ils convenaient,mais je n'arrive pas a montrer que ce sont les seuls...)
merci !!
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[invite2c2620e2]

salut
Essaie de deriver ca devrait te donner une equa diff en f, en la resolvant t'auras ttes les fonctions qui pourraient verifier ta propriétés, il suffira ensuite de s'assurer qu'elles
conviennent.

[invitee011f7c7]

bonsoir,j'ai déja essayé la dérivation,et j'obtiens rien de concluant du tout (les relations sont inutilisables !!)

[invite1237a629]

Plop,

Sorry, je me permets de réécrire ça en latex...on verra pitet mieux =)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee011f7c7]

effcetivement lol
quelqu'un aurait une idée ?

[inviteaf1870ed]

L'ensmble des solutions est un espace vectoriel. Si tu arrives à montrer qu'il est de dimension 4 tu as fini...

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Très joli problème que tu nous soumets là. Je donne la solution en spoiler, une fois n'est pas coutume, si jamais d'autres veulent s'y essayer.

 Cliquez pour afficher

Le maître mot est DL. Le but est de démontrer qu'en tout x, la dérivée troisième de f est non nul. Je ne le fais qu'en 0, puisqu'on peut toujours s'y ramener par un changement de repère, ie en posant g(t) = f(t+x).

L'idée est en fait assez simple. Prend x=0, y=h, et on va s'amuser à faire tendre h vers 0, et à regarder précisément comment ça tend vers 0 quand h tend vers 0. Après moults dl et éventuellement des erreurs, on trouve



Donc, si c'est nul, ce qui est le cas à cause de notre hypothèse, on obtient que la dérivée troisième de f en 0 est nulle.

Comme dit précédemment, ce que l'on fait en zéro, on peut le faire partout, c'est pareil. Du coup, la dérivée troisième de f est nulle partout, et c'est donc bien un polynôme de degré 2. Bon, évidemment, tu as trouvé que les polynômes de degré 3 marchaient, ce qui indique que l'un de nous deux a fait une faute de calcul: Rassure toi, je subodore que c'est moi

Je te laisse donc le soin d'écrire les calculs plus proprement que moi, et normalement le premier ordre non nul fera intervenir la dérivée 4 ième de f en zéro.

Mais si quelqu'un dans l'assistance a une plus jolie preuve que celle-ci, qui est quand même très calculatoire, je suis preneur.

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rvz

[invitee011f7c7]

merci pour cette réponse,je vais y réfléchir (je me suis peut etre trompé aussi,le calcul c'est le calcul lol)

[invitee011f7c7]

Pour information,ca marche magnifiquement bien (le terme d'ordre 3 disparait,donc les solutions sont effectivement les polynomes de degré inférieur ou égal a 3 !! (la réciproque est immédiate avec la formule des 3 niveaux,pour ceux que ca interesse)!! encore merci !

[invite6b1e2c2e]

Cool ! Ca, c'est une bonne nouvelle !

Cela dit, on devrait pouvoir donner une méthode plus conceptuelle -et donc moins calculatoire - par exemple basée sur le nombre de points où on approche la fonction, avec un argument de dimension.

Ce serait probablement plus intéressant, et en tout cas moins sujet à d'éventuelles erreurs.

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rvz

[inviteaf1870ed]

Oui c'était mon idée, mais je n'ai pas réussi à trouver une formule de f qui fasse intervenir 4 paramètres.