Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

[invite82078308]

Arguments d'autorité:
Gödel a dit, Connes a dit,Étienne Klein à dit ...
Et vous, minushabens, pouvez vous justifier vos dires ?

[invite9dc7b526]

Arguments d'autorité:
Gödel a dit, Connes a dit,Étienne Klein à dit ...
Et vous, minushabens, pouvez vous justifier vos dires ?

Pour ce qui est de Gödel, il faut lire le texte d'une conférence qu'il a donnée où il expose et commente la pensée de Carnap (je n'ai pas la référence en tête mais on doit pouvoir la trouver).
Pour ce qui est de Connes, j'ai (mal) cité de mémoire un livre coécrit avec Jean-Pierre Changeux: "matière à penser".
Pour Klein je ne sais pas, je ne pense pas en avoir parlé.

Et je ne vois pas en quoi évoquer les idées de G, C ou K ou de qui que ce soit constitue un argument d'autorité.

[invite23cdddab]

Et je ne vois pas en quoi évoquer les idées de G, C ou K ou de qui que ce soit constitue un argument d'autorité.

C'est de dire "comme Gödel à dit que, c'est vrai" qui est un argument d'autorité, pas d'évoquer leurs idées

[Médiat]

Plus je lis Connes et plus j'aime Lichnerowicz.

A tout hasard, pour la partie honnête de l'auditoire, les exemples (qu'ils prétends démonstratifs) de Connes sont pris exclusivement dans le cadre de l'arithmétique (il le précise), théorie qui possède un modèle premier (j'ai déjà expliqué plusieurs fois que ce point, à mes yeux, rendait défendable l'usage de "vrai", même si on pourrait lever toute sommation philosophique et le précisant, ce qui en dit long sur ceux qui, sciemment, ne le font pas)

PS : Je suis bien d'accord avec karlp, il y a dans son texte beaucoup de malhonnêteté (ou de maladresse).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Je re-précise quelques points : on peut croire que les objets mathématiques ont une existence préalable à l'énoncé des concepts (Platonicien), on peut croire que les objets mathématiques n'ont pas d'existence préalable à l'énoncé des concepts (anti-platonicien, je ne connais aucun mathématicien ayant cette position, il en existe sans doute quand même), et puis on peut être "sans opinion" ou laïc, sur le sujet (c'est mon cas), ce que je trouve dommage, voire dommageable, c'est que certains (Connes, par exemple) veuillent imposer leur croyance, alors qu'elle devrait rester du domaine privé (hors du domaine mathématiques en tout cas).

On peut s'exprimer de plusieurs façons différentes, par exemple:

1) Il existera toujours des énoncés vrais, mais non démontrables dans AP ni dans ses extension récursives.
2) Il existera toujours des énoncés vrais, mais non démontrables dans toutes théories vérifiant les conditions du théorème d'incomplétude de Gödel.
3) Il existera toujours dans le modèle premier (ou standard) de AP des énoncés vrais mais non démontrables dans AP ni dans ses extension récursives.
4) Il existe des énoncés vrais dans le modèle premier (ou standard) de AP, mais non démontrables dans AP ni dans ses extension récursives.
5) Il existe des énoncés indécidables dans toutes théories vérifiant les conditions du théorème d'incomplétude de Gödel.

La phrase 1) est compréhensible : "vrai" veut dire ici "vrai dans le modèle premier (ou standard) de AP", mais indique clairement que le locuteur est platonicien, or être platonicien est une position philosophique, pas mathématique (la preuve : platonicien ou non, les mathématiciens utilisent les mêmes règles d'inférence (*), les mêmes axiomes, et démontrent les mêmes théorèmes), et je ne vois pas pourquoi, dans un article de mathématiques, un mathématicien devrait m'imposer ses positions philosophiques
La phrase 2) est incompréhensible, que l'on soit platonicien ou non, puisque, contrairement à AP toutes les théories n'ont pas un modèle privilégié auquel on peut faire référence, par défaut.(**)
La phrase 3) est compréhensible par tout le monde, n'indique aucune position philosophique du locuteur et ne contrevient à aucune philosophie (un platonicien peut dire cette phrase sans renier sa philosophie)
La phrase 4) est ... une erreur.
La phrase 5) est compréhensible par tout le monde, n'indique aucune position philosophique du locuteur et ne contrevient à aucune philosophie (un platonicien peut dire cette phrase sans renier sa philosophie)

(*) Ce qui n'est pas le cas de l'intuitionnisme qui n'est donc pas uniquement une position philosophique, d'ailleurs on peut très bien faire des mathématiques intuitionnistes sans être philosophiquement intuitionniste.
(**) Il est facile d'écrire une extension récursive de AP, dont le modèle standard de AP n'est pas un modèle.

[karlp]

Très cher Médiat, je dois surmonter la honte que devrait m'inspirer mon ignorance (un moment de honte est bien plus bref que la durée de l'ignorance ) pour vous demander de m'aider à distinguer les énoncés 3) et 4)

1) Il existera toujours des énoncés vrais, mais non démontrables dans AP ni dans ses extension récursives.
2) Il existera toujours des énoncés vrais, mais non démontrables dans toutes théories vérifiant les conditions du théorème d'incomplétude de Gödel.
3) Il existera toujours dans le modèle premier (ou standard) de AP des énoncés vrais mais non démontrables dans AP ni dans ses extension récursives.
4) Il existe des énoncés vrais dans le modèle premier (ou standard) de AP, mais non démontrables dans AP ni dans ses extension récursives.
5) Il existe des énoncés indécidables dans toutes théories vérifiant les conditions du théorème d'incomplétude de Gödel.

.

En vous remerciant d'avance

[karlp]

Je crois que j'ai compris !

Je dois distinguer "il existe un énoncé vrai dans AP" et "il existe dans AP, un énoncé vrai "(sous entendu "par ailleurs" ?

Est-ce bien cela ?

[Médiat]

Je savais bien que je pouvais compter sur vous

En vous remerciant d'avance

C'est moi qui vous remercie de me donner l'opportunité d'expliciter ce point (que l'on peut voir comme un problème de quantificateurs).

La phrase 3 exprime que quelque soit les extensions récursives de que je pourrais construire, il restera des propositions indécidables vraies dans le modèle standard de .

La phrase 4 exprime qu'il existe des énoncés vrais dans le modèle standard, disons qui ne seraient prouvables dans aucune extension récursive de , alors que , j'ai donc trouvé une extension récursive de AP qui démontre .

Amicalement

[EDIT]Vous avez été plus rapide que moi

[karlp]

Merci infiniment !!
(il va me falloir la journée pour bien assimiler les subtiles nuances que seul le langage formalisé permet d'exprimer sans équivoque )

[invitea5cf685d]

Je pense donc utile de solliciter d'urgence sur la base de ces démonstrations formelles considérées ici, sur ce forum et en vase clos comme logiquement universelles la modification des mots utilisés sur le site grand public futura mathématiques qui héberge le forum pour éviter a minima le paradoxe de deux formulations contradictoires :

http://www.futura-sciences.com/magaz...e-godel-13701/

Le grand mathématicien David Hilbert, qui avait été à l'origine de ce problème, l'espérait. Mais Gödel mit fin à cet espoir en démontrant que tout système axiomatique permettant de faire de l'arithmétique devait contenir des propositions qui ne pouvaient être démontées, ou réfutées, en utilisant le système axiomatique en question. Si l'on décidait qu'une de ces propositions était un autre axiome, on aurait un nouveau système, mais qui contiendrait lui aussi des propositions dont la vérité ou la fausseté sont indécidables. Paradoxalement, on sait que certaines de ces propositions indécidables sont vraies, mais on ne peut le démontrer. C'est souvent en ces termes que l'on parle « du » théorème d'incomplétude de Gödel, mais il s'agit en fait de son premier théorème d'incomplétude.