Vecteur aléatoire de Rn

[invite97a526b6]

Bonjour, voici ma question:

Soit X = (X₁, ..., X_n) un vecteur aléatoire de Rⁿ tel que les composantes X_i soient indépendantes.
Soit M une matrice nxn.
A quelle condition sur M le vecteur M.X a-il pour composantes des v a r indépendantes ?
M inversible ?

Autre question:
Si dans un vecteur aléatoire il y a une ou des liaisons fonctionnelles entre certaines de ses composantes, alors les composantes ne sont pas des v a indépendantes ?
Réciproque (fausse): Si un vecteur aléatoire a ses composantes non indépendantes, alors il existe des liaisons fonctionnelles entre ses composantes. Cette réciproque est évidemment fausse : contre exemple : un vecteur gaussien dont la matrice de covariance est inversible et n'est pas diagonale.

Merci pour réponses et commentaires.
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[invite06b993d0]

si on suppose EX=0 (pour simplifier l'écriture) on a Var X = E(XX') et si Y=MX alors EY=0 et Var Y = E(YY') = M Var X M'. Donc tu as une condition nécessaire : MM' doit être diagonale. La condition est suffisante dans le cas multinormal.