Interprétation géométrique de la réductibilité de polynômes à deux variables

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je me demandais si l'on pouvait faire un lien entre certains polynômes réductibles à deux variables et la réprésentation graphique de leurs racines. Ce qui est sûr, c'est que l'on ne peut pas montrer qu'un polynôme est irréductible à partir de cette représentation graphique puisqu'on peut le multiplier par un polynôme ne s'annulant, ce qui le rend réductible sans changer ses racines.

Mais si P est réductible, P=QR, alors . J'ai donc regardé ce qui se passait lorsque le graphe n'était pas connexe ou lorsqu'il y avait des points d'intersection entre deux courbes, mais à chaque fois j'ai pu trouver des exemples réductibles et irréductibles.

Connaissez-vous un critère pas trop tordu sur le graphe de (où P est donc un polynôme à deux variables réelles) qui suffirait à montrer que P est réductible ?

Seirios
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[invite76543456789]

Salut!
C'est la notion d'irreductibilité en geométrie algébrique.
Sur un corps algébriquement clos la reponse est simple, tu regarde la racine de l'idéal engendré par le polynome, si le quotient est intègre alors ta variété est irreductible ( elle n'est pas l'union de deux fermés non triviaux) et reciproquement.
Sur un corps quelconque ca reste vrai, si tu as la bonne notion de point i.e si tu n'interesses pas au point rationnels de la courbe, mais au point du schéma associé (ou les points rationnels de la courbe sur la cloture algébrique).

[Seirios]

Merci, je vais aller voir ça.

[G13]

Bonsoir,

Sur , si le graphe dans d'un polynôme homogène est lisse, alors il est irréductible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[G13]

Je voulais dire l'ensemble des zéros au lieu de graphe. Et le polynôme doit être sans facteur carré.