Topologie vs structure fractale

[pesdecoa]

Bonjour à tous,
C'est la première discussion que j'ouvre sur le forum.

Depuis quelques jours, je m'interroge sur une possible analogie entre topologie et structure fractale.

Topologie
Toute intersection des parties d'un ensemble topologique appartient à l'ensemble topologique.
Toute réunion des parties d'un ensemble topologique appartient à l'ensemble topologique.

Structure fractale
La dilatation de l'ensemble de Cantor produit une structure qui est exactement la réunion de deux copies de l'ensemble de Cantor initial.

Peut-on dire que la topologie et les structures fractales sont deux définitions équivalentes pour expliquer l'invariance d'échelle ou l'autosimilarité?

Merci par avance pour vos futures réponses.
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[invite76543456789]

Salut!
Pas du tout! La topologie est une branche tres vaste des mathématiques, et cherche a formaliser la notion de proximité, de voisinage, puis de continuité.
A priori pas grand chose a voir avec l'auto similarité.

Une telle "structure de proximité" est définie par un certain ensemble de parties (dont tu enonces certaines propriétés dont une est d'ailleurs a priori eronnée, on se limite a des intersections finies... sauf cas tres tres particulier).

[DSCH]

Topologie
Toute intersection des parties d'un ensemble topologique appartient à l'ensemble topologique.
Toute réunion des parties d'un ensemble topologique appartient à l'ensemble topologique.

Toute intersection des parties d'un ensemble est une partie de l'ensemble (et non « appartient à l'ensemble »).
Toute réunion des parties d'un ensemble est une partie de l'ensemble (idem).

Cela n’a rien à voir avec la topologie, cela vient de la définition même des parties d’un ensemble. Ou alors, vous vouliez dire « ouverts » au lieu de « parties », mais alors une de vos deux affirmations deviendrait fausse (et en passant, on parle d’espace topologique, le mot ensemble faisant plutôt référence à quelque chose de non structuré).

[invite06b993d0]

Topologie
Toute intersection des parties d'un ensemble topologique appartient à l'ensemble topologique.
Toute réunion des parties d'un ensemble topologique appartient à l'ensemble topologique.

la définition correcte c'est : toute intersection d'une partie finie de la topologie (=ensemble des ouverts) qui est encore dans la topologie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pesdecoa]

la définition correcte c'est : toute intersection d'une partie finie de la topologie (=ensemble des ouverts) qui est encore dans la topologie.

Merci mehoul pour cette rectification.

Mais quelle image mentale peut-on se faire de cette définition ? A part l'autosimilarité qui pourrait expliquer la continuité comme le fait que quel que soit l'échelle à laquelle on se place

une partie finie de la topologie

il n'y a pas de vide ou de trou

est encore dans la topologie

[pesdecoa]

(et en passant, on parle d’espace topologique, le mot ensemble faisant plutôt référence à quelque chose de non structuré).

Merci DSCH de votre réponse.

La théorie des ensembles ordonnés est équivalent à un espace topologique fini je crois?
La topologie n'a d'intérêt que si on s'interesse aux espaces topologiques infinis, non?

[pesdecoa]

Salut!
Pas du tout! La topologie est une branche tres vaste des mathématiques, et cherche a formaliser la notion de proximité, de voisinage, puis de continuité.
A priori pas grand chose a voir avec l'auto similarité.

Une telle "structure de proximité" est définie par un certain ensemble de parties (dont tu enonces certaines propriétés dont une est d'ailleurs a priori eronnée, on se limite a des intersections finies... sauf cas tres tres particulier).

Merci MissPacman pour ta réponse.
Ta réponse est utile pour "penser" la topologie.
Notamment pour l'axiome selon lequel l'adhérence de l'adhérence est encore l'adhérence.

[invite06b993d0]

La théorie des ensembles ordonnés est équivalent à un espace topologique fini je crois?

non et non : ensemble ordonné n'est pas équivalent à espace topologique et un ensemble ordonné n'est pas toujours fini.

La topologie n'a d'intérêt que si on s'interesse aux espaces topologiques infinis, non?

l'intérêt qu'on trouve aux choses est quelque-chose de personnel, donc on ne peut pas répondre à cette question. En théorie des graphes (qui sont des objets finis) on étudie des propriétés comme la connectivité, qui bien que combinatoire, fait référence à la notion topologique de connexité. Il y a aussi la notion de graphe planaire, qui est topologique. La topologie d'un graphe n'est pas quelque-chose de si trivial que cela.

[Snowey]

Bonjour !
Je vois un sujet sur la topologie, alors je saute sur l'occasion pour poser une question (si vous estimez qu'il faut ouvrir un nouveau topic, alors je le ferai, mais dans si ce nnest pas nécessaire ...): pensez vous que je puisse choisir la topologie comme thème général de mon tipe (l'étude se porterais par exemple sur la notion de groupe fondamental, apparament en accord avec le thème "invariance et similitude" puisqu'elle est caractérisée par une invariance) ?
Je vous pose la question car je pense que je pourrais prendre du plaisir à aborder un tel sujet mais:
- je ne connais rien en topologie, donc je me demande si je peux acquérir un niveau suffisant pour que mon travail soit pertinent scientifiquement !
- dur de ne pas suivre un "cours version pdf", aussi l'aspect "recherche personnelle" m'a l'air limité. De même en ce qui concerne, a priori, le manque de pluridisciplinarité (les applications physique existent t'elles ?)
-n'est ce pas déjà sur traité ?
Qu'en pensez vous ?
Vos conseils vont bien sûr beaucoup m'aiguiller sur les choix à venirs ! (sinon, j'ai pensé à étudier ce que l'on appelle l'espace K, très utilisé notamment dans l'imagerie médicale IRM, qui mêle cette fois ci math et physique !)

[pesdecoa]

Bonjour Snowey,

Perso, tu fais bien de te joindre à la discussion.

A mon sens, la topologie est un sujet de pure mathématique.
Je voulais en lançant cette discussion voir si je pouvais me raccrocher à un concept physique comme l'autosimilarité pour appréhender un peu mieux la topologie...

[pesdecoa]

l'intérêt qu'on trouve aux choses est quelque-chose de personnel, donc on ne peut pas répondre à cette question. En théorie des graphes (qui sont des objets finis) on étudie des propriétés comme la connectivité, qui bien que combinatoire, fait référence à la notion topologique de connexité. Il y a aussi la notion de graphe planaire, qui est topologique. La topologie d'un graphe n'est pas quelque-chose de si trivial que cela.

Bonjour Mehoul,

Il y a donc un choix à faire : le choix de la topologie associée au graphe?

[invite06b993d0]

Il y a donc un choix à faire : le choix de la topologie associée au graphe?

je ne crois pas. Pour les questions sur les graphes planaires par exemple, on considère un plongement du graphe sur le plan usuel, on ne se pose pas la question de choisir une topologie du plan par exemple, enfin je n'ai jamais vu ça. La planarité c'est par définition l'existence d'un plongement.

[invite76543456789]

Salut!
Je pense qu'il serait loisible d'ouvrir un nouveau sujet oui.

Bonjour !
Je vois un sujet sur la topologie, alors je saute sur l'occasion pour poser une question (si vous estimez qu'il faut ouvrir un nouveau topic, alors je le ferai, mais dans si ce nnest pas nécessaire ...): pensez vous que je puisse choisir la topologie comme thème général de mon tipe (l'étude se porterais par exemple sur la notion de groupe fondamental, apparament en accord avec le thème "invariance et similitude" puisqu'elle est caractérisée par une invariance) ?
Je vous pose la question car je pense que je pourrais prendre du plaisir à aborder un tel sujet mais:
- je ne connais rien en topologie, donc je me demande si je peux acquérir un niveau suffisant pour que mon travail soit pertinent scientifiquement !
- dur de ne pas suivre un "cours version pdf", aussi l'aspect "recherche personnelle" m'a l'air limité. De même en ce qui concerne, a priori, le manque de pluridisciplinarité (les applications physique existent t'elles ?)
-n'est ce pas déjà sur traité ?
Qu'en pensez vous ?
Vos conseils vont bien sûr beaucoup m'aiguiller sur les choix à venirs ! (sinon, j'ai pensé à étudier ce que l'on appelle l'espace K, très utilisé notamment dans l'imagerie médicale IRM, qui mêle cette fois ci math et physique !)

Je pense qu'un sujet de TIPE sur la topologie algébrique serait une tres bonne idée. Pour repondre a tes questions "par le menu".
1) Tout depend de ce que tu appelles pertinent scientifiquement. Mais il est possible de faire de tres belles maths meme en partant du niveau prepa en topologie algébrique (avec par exemple comme retour des démos de theoremes classiques de prepa comme d'alembert Gauss etc...)
2) Il est clair que tu auras besoin d'un cours mais ca ne t'empeche pas de te poser des questions alternatives qui offiriont un vrai travail personnel (qui peut eventuellement etre relié a la physique).
3) Je ne sais pas.

[taladris]

Salut,

non et non : ensemble ordonné n'est pas équivalent à espace topologique et un ensemble ordonné n'est pas toujours fini.

En fait, il y a un lien entre ensembles partiellement ordonnés finis et espaces topologiques finies T0. Si X est un espace topologique fini et x un élément de X, alors on note U(x) l'intersection de tous les ouverts contenant x. Alors la relation définie par x<y si et seulement si U(x) est contenu dans U(y). Cette relation est un préordre (réflexive et transitive). Elle est symétrique si et seulement si X est T0.

la topologie comme thème général de mon tipe

Toujours pour parler de topologie finie, il y a de nombreuses applications de celle-ci, notamment dans les modèles d'ARN ou en informatique théorique. Je n'ai malheureusement pas de référence à te donner. Au pasage, la topologie algébrique d'un espace topologique fini peut être plus compliqué que ce qu'on pourrait en penser.

Il y a donc un choix à faire : le choix de la topologie associée au graphe?

Une question intéressante (i.e. des chercheurs travaillent dessus) sur la topologie des graphes: étant donné un graphe G avec "label" (des nombres sont associés aux arrêtes), existe-t-il un espace métrique (X,d) tel que G puisse être plongé dans X de sorte que les distances entre les sommets soient exactement les labels des arrêtes? Si oui, quel degré de liberté a-t-on dans le choix des labels?

[Seirios]

Une question intéressante (i.e. des chercheurs travaillent dessus) sur la topologie des graphes: étant donné un graphe G avec "label" (des nombres sont associés aux arrêtes), existe-t-il un espace métrique (X,d) tel que G puisse être plongé dans X de sorte que les distances entre les sommets soient exactement les labels des arrêtes? Si oui, quel degré de liberté a-t-on dans le choix des labels?

Intéressant. Quelques références sur le sujet ?

PS : Il me semble que l'équivalent français de labelled graph est graphe étiqueté ; en particulier, label doit certainement se traduire par étiquette.

[taladris]

Intéressant. Quelques références sur le sujet ?

J'en connais peu.
J'ai trouvé ceci avec Google: http://users.cms.caltech.edu/~schulm...manor-lec1.pdf . Je pense que le sujet intéresse plus les mathématiciens appliqués que les mathématiciens purs.

PS : Il me semble que l'équivalent français de labelled graph est graphe étiqueté ; en particulier, label doit certainement se traduire par étiquette.

Merci. Je ne sais jamais si étiqueté fait référence aux étiquettes sur les arrêtes ou sur les sommets. En anglais, on peut préciser "edge labeled graph" (graphe aux arrêtes étiquetées?) ou "vertex labeled graph" (graphe aux sommets étiquetés?).

[Snowey]

Je vas aussi regarder ça, Taladriq (même si ce n'est pas de mon niveau, je suis curieux ^^).
Au passage, désolé de ne pas avoir créé une nouvelle discussion, je le ferai ce soir quand j'aurai le temps (oui, même maintenant je suis presse ! Comme quoi y'a des semaines ... Bref !).
Connaissez vous de bons livres (accessibles ?) qui introduisent la topologie (analytique, c'est ça ?) ?
Ou peut être que vous pensez que c'est inutile pour mon niveau, ce que je comprendrais aussi.

[thepasboss]

Bonsoir,

je demande à mon ancien prof d'analyse ce matin si il a une bonne référence. Niveau L2 donc ?
Tu veux une intro sur la topologie générale (j'entend par là en utilisant les définitions à l'aide des ouverts, et donc plus abstraite) ou alors vers la topologie métrique ? Le deuxième sujet sera moins général, mais aussi très intéressant.

[Snowey]

Ben disons que je suis à peine en MPSI (tooooooout en bas de l'échelle, donc), mais ces documents m'intéressent !

[invite76543456789]

Salut!
Je pense pas que faire un TIPE sur la topologie generale soit vraiment la meilleure idée. Par contre ce qui pourrait etre plus sympa ce serait de faire un TIPE sur la topologie algébrique, et là on peut faire un truc un sup qui puisse etre sympa, en se limitant a des cas simples disons dans R^2 ou des choses de ce genre ou les considerations de topologie generale sont limitées, et il y a deja moyen de mettre en evidence des phenomenes sympa, et ca vrai un vrai travail original et personnel qui ne soit pas juste le recopiage d'un livre. Par exemple l'etude des groupes fondamentaux de sous ensemble du plan, une preuve du theoreme de Jordan, et pourquoi pas la defintion de genre pour les surfaces... bref voir concretement ce que donne des theories generales sur des exemples tres simples et concret (sans toutefois etre triviaux).

[pesdecoa]

J'ai laissé filé ce fil dans une direction qui ne correspond pas à mon questionnement originel qui était quelle image, quelle représentation les mathématiciens se faisait de l'espace topologique.

Une grande fracture s'est faite, il y a 1 siècle, entre les fondements de la Physique et ceux des Mathématiques, en partie due à la naissance de la géométrie non-euclidienne. Et avec elle, les fondements des mathématiques se sont éloignés de la notion d'espace (au profit de l'arithmétique). Le rapport à l'espace des fondements mathématiques n'est plus fondateur.

Voila, j'espère avoir donné un peu plus de sens à mon questionnement.

[Snowey]

Pesdecoa,
je tiens à m'excuser car c'est mon message qui a généré cette dérive de ton sujet.
Je suis vraiment désolé, j'aurais effectivement du, comme on me l'a conseillé, ouvrir une autre discussion.
J'arrête donc mes commentaires déplacés, en remerciant quand même beaucoup les réponses que j'ai reçues et qui m'orientent.

Amicalement, Snowey

[invite76543456789]

J'ai laissé filé ce fil dans une direction qui ne correspond pas à mon questionnement originel qui était quelle image, quelle représentation les mathématiciens se faisait de l'espace topologique.

Une grande fracture s'est faite, il y a 1 siècle, entre les fondements de la Physique et ceux des Mathématiques, en partie due à la naissance de la géométrie non-euclidienne. Et avec elle, les fondements des mathématiques se sont éloignés de la notion d'espace (au profit de l'arithmétique). Le rapport à l'espace des fondements mathématiques n'est plus fondateur.

Voila, j'espère avoir donné un peu plus de sens à mon questionnement.

Oui recentrons le sujet.
Quelle representation se fait t on d'un espace topologique (et pas de l'espace topologique), bah cela depend des gens, je ne peux vraiment te donner de reponse universelle.

Par contre la "so called" geometrie non euclidienne, est tres presente en physique comme en mathématiques. Et la notion d'espace reste completement centrale en mathématiques.