problème de rationalité

[invite56f88dc9]

Bonjour.
1) Je dois montrer que pout tout n>=2, et a un entier naturel, que toute racine rationelle du polynôme x^n - a est nécessairement entière.
2)En déduire que le nombre racine n-ième de a est irrationnel, sauf si a est la puissance n-ième d'un entier.

Pour le première question j'ai dit que : x^n-a=0 Or a € N donc toute racine rationnelle du polynôme est nécessairement entière.

C bon ?
Par contre pour la troisième question je ne vois pas le lien évident.
Un truc m'échappe.
Merci de bien vouloir me répondre.
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[matthias]

Pour le première question j'ai dit que : x^n-a=0 Or a € N donc toute racine rationnelle du polynôme est nécessairement entière.

Je n'ai pas l'impression que tu ais démontré grand-chose, puisque tu pars des hypothèses de l'énoncé pour déduire le résultat recherché sans aucune étape intermédiaire.

[invite56f88dc9]

Comment doit on procéder ?

[matthias]

Tu exprimes ton rationnel sous forme d'une fraction irréductible p/q, et tu utilises tes théorèmes d'arithmétique pour démontrer que si pⁿ =a.qⁿ alors q divise p.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56f88dc9]

doit on utiliser le théorème de Gauss ??(mais ici on a des puissances...)

[ericcc]

Si pⁿ = a. qⁿ , que peux tu dire de a et de pⁿ , puis de a et de p ?