Développements de Taylor, de Maclaurin, limité

[Bleyblue]

Bonjour,

Dites lorsque vous parlez "d'utilisez un développement limiter pour calculer une limite" vous voulez bien parler d'un développement de Taylor limité à l'ordre n?

Dans ce cas comment faites vous si on cherche la limite en + l'infini ? Vous développez le polynôme avec en quel point xo ?

Ou alors je me trompe et il ne s'agit pas d'un développement de Taylor ?

merci
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[martini_bird]

Salut,

l'éventuelle limite en +oo d'une fonction f est celle en 0⁺ de g: x → f(1/x).

Cordialement.

[Bleyblue]

Ah oui malin.
Je n'ai pas fait attention, je vais essayer d'appliquer sur un exemple un peu pour voir.

merci

[Bleyblue]

A propos du topic :

http://forums.futura-sciences.com/th...53-limite.html

j'aimerais bien comprendre comment Bioben a-t'il fait pour passer de



à



Je ne comprend pas bien. Il a procédé par un développement limité mais en quel point ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[g_h]

Salut,

Tu as
En faisant le DL(0) de , on obtient :
(mais attention ici u ne tend pas vers 0)

Tu en tires

D'où le résultat !

[g_h]

Pour répondre à ton autre question : dans l'autre fil tu demandais la limite en +oo, donc on fait un DL en +oo, mais on se ramene à un DL en 0.

PS : ma remarque dans le message précédent "attention ici u ne tend pas vers 0" doit se lire "attention si u ne tend pas vers 0"... !

[Bleyblue]

Ah bon.

On obtient donc une formule de Maclaurin pour mais ça m'étonne car la fonction en question n'est pas définie en zéro (et donc les dérivées successives non plus)

Il s'agit quand même bien d'appliquer :



non ?
(désolé si je suis un peu lent pour comprendre ...)

merci

[nissart7831]

BlyeBlue,

Le problème dans l'autre topic était de trouver la limite de en .

On obtient donc une formule de Maclaurin pour mais ça m'étonne car la fonction en question n'est pas définie en zéro (et donc les dérivées successives non plus)

Voilà comment on peut justifier l'emploi des développements limités en l'infini.

Soit donc la fonction
Posons le changement de variable U = 1/x² (soit ) de telle sorte que quand alors .

Définissons la fonction telle que .
On a alors
est infiniment dérivable sur et on peut écrire le développement limité de en 0 (le 0 pour U !):


Etudier f au voisinage de l'infini est équivalent à étudier au voisinage de 0.

C'est quelque chose que j'ai utilisé plusieurs fois, mais je ne me souvenais plus exactement de la justification. Pour cela, j'ai repris mon bouquin de DEUG 1ère année (maintenant L1). Il est écrit :

Par définition (et oui !), on dit que f admet un d.l. d'ordre n au voisinage de l'infini si et seulement si admet un d.l. d'ordre n au voisinage de 0.
C'est-à-dire, pour notre problème :


Ainsi, on a un développement limité de f au voisinage de l'infini.
Pour notre problème, on peut écrire, grâce à tout ce qui précède :
car
c'est-à-dire :


Ensuite, tu peux conclure pour g(x) et sa limite en l'infini (comme t'avait montré BioBen dans l'autre topic).

J'espère que ça a été assez clair et détaillé.

A+

[nissart7831]

est infiniment dérivable sur

Oups, petit dérapage (il était tard). est bien entendu infiniment dérivable sur ]-1, [ et non
Ce qui ne change rien au reste puisqu'on s'interesse à un voisinage de 0!

[Bleyblue]

Merci beaucoup pour ton résumé nissart7831, je vais lire ça bien à mon aise