Démontration limite par développements limités

[invite1421d046]

Bonjour, voici mon problème :

Je dois prouver que lim e^x/x^n = +infini quand x -> +infini à l'aide des développements limités.
Je n'y arrive vraiment pas ! Merci de votre aide
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[invitebf65f07b]

quel est ton problème exactement?

[invite1421d046]

Et bien je connais le développement limité de e^x, mais pas celui de x^n. Le prof m'a donné un indice, il m'a dit qu'il fallait mettre e^x et x^n en DL, et il y aurait des choses qui se simplifieraient, mais je vois pas quoi

[invitebf65f07b]

euh...un DL, c'est bien une approximation d'une fonction en un point par un polynome, non?
Et x^n, c'est un...?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea8d97425]

La fonction x -> x^n est déjà une fonction polynomiale. Or, faire un DL d'une fonction, ce n'est rien d'autre que de dire qu'un certain polynôme (la partie principale du DL) est "relativement" proche de la fonction en un point (ou en l'infini ici). Pour une fonction polynomiale, le "DL" est la fonction elle-même, pourrait-on dire...

Fait un DL de exp à l'ordre n+1, et regarde ce qu'il se passe...

EDIT : grillé par robert et ses amis, plus pédagogue que moi puisqu'il ne donne pas la réponse...

[invite1421d046]

Merci, je vais essayer tout de suite

[moijdikssékool]

on peut faire un dl de exp lorsque la variable -> l'infini? parceque le terme prépondérant dans 1+x^k/k+o(x^n) est le terme en o(x^n), celui considéré comme le plus négligeable

[invite1421d046]

En fait le problème, c'est le changement de variable.
Je sais que e^x = 1 + x + x^2/2! + ... + x^n/n! quand x -> 0
Donc pour chercher quand x -> +inf, on pose x = 1/x
Ce qui donne e^x = 1 + 1/x + 1/(2!x^2) + ... + 1/(n!x^n)

Mais ensuite, le x^n, je dois le transformer en 1/x^n ou pas ???

[moijdikssékool]

Mais ensuite, le x^n, je dois le transformer en 1/x^n ou pas ???

voui
soit à étudier exp(1/x)*x^n

[invite1421d046]

OK.
On a e^x = 1 + 1/x + 1/2!x^2 + ... + 1/n!x^n (avec x = 1/x)

d'où e^x * x^n = x^n + x^n-1 + x^n-2/2! + ... + 1/n!

Donc je suppose que maintenant, il faut calculer la limite de tout ca en +infini, qui est donc +infini.

Mais dernier problème : on a posé x = 1/x, donc on devrait pas plutot chercher la limite en 0 ? Auquel cas tout serait faussé, puisqu'on trouverait lim = 0, et je veux prouver que lim = +infini...

Excusez moi je débute totalement dans les DL

[invite1421d046]

-Edit du message précédent (on comprend mieux avec x=1/t)-

OK.
On pose x = 1/t donc
e^x = e^1/t = 1 + 1/t + 1/2!t^2 + ... + 1/n!t^n

d'où e^1/t * t^n = t^n + t^n-1 + t^n-2/2! + ... + 1/n!

Donc je suppose que maintenant, il faut calculer la limite de tout ca quand t -> +infini, qui est donc +infini.

Mais dernier problème : on a posé x = 1/t, et on veut la limite quand x->+infini, donc on devrait pas plutot chercher la limite quand t->0 ? Auquel cas tout serait faussé, puisqu'on trouverait lim = 0, et je veux prouver que lim = +infini...

Excusez moi je débute totalement dans les DL

[invite1421d046]

Je me disais bien, je comprenais pas...
J'en suis toujours au meme point, si y'a quelqu'un qui veut bien m'aider... merci (c'est assez urgent, c'est pour mardi 25/10)

[invitebf65f07b]

tu as bien une formule de Taylor avec reste intégral dans ton cours?

l'intérêt de cette formule, c'est qu'elle est vrai sur tout l'intervalle, tu la prends à l'ordre n+1, la majorité des termes vont tendre vers zéro, sauf dernier qui tend vers +oo, et l'avant dernier qui est constant...
à toi de gérer l'intégrale

[invite1421d046]

Waoouuhh merci Robert, super sympa, j'ai pigé le truc ! En fait mon problème c'est que je gérais le reste comme étant o(x^n), et pas comme étant x^(n+1)/(n+1)! * f(n+1)(c) !
Merci infiniment
Bonne semaine !

[moijdikssékool]

le reste comme étant o(x^n)

IL me semble que o(x^n) signifie x^n*f(x) où f->0 lorsque la variable tend vers 0

[invitebf65f07b]

oui, et c'est bien pour cela que ça ne sert pas pour regarder ce qui se passe en +oo

[moijdikssékool]

oui, et c'est bien pour cela que ça ne sert pas pour regarder ce qui se passe en +oo

voui, me suis trompé avec les chgts de variables
toujours est-il que le dl de exp en l'infini me paraît douteux
ok, on a le droit de poser x = 1/t
mais ce genre de manip, c'est pour avoir des eq du genre 1/(x-1) = t/(1-t) et alors on peut faire un dl parceque l'on connaît le dl de 1/(1-t) en 0
je ne vois pas en quoi poser x = 1/t peut améliorer l'écriture de exp(x). Le seul dl que je connaisse est celui de exp lorsque la variable tend vers 0. A moins que, dans les manuels, on apprenne le dl de exp(1/t) lorsque t tend vers 0...
mais ca m'étonnerait, c'est la composition de 2 fonctions exp et 1/x dont l'une admet un dl car infiniment dérivable partout mais l'autre non car non continue au point considéré

[invitebf65f07b]

je me suis mal fait comprendre :
avec le o(x^n), on a une information uniquement au voisinage d'un point (ici zéro).
tandis que si on prend une formule "exacte" (genre reste intégral), là on peut travailler même loin du point où est fait le développement (par exemple en +oo).
Et ici, le changement de variable n'apporte rien en effet (sauf peut-être des erreurs...)

[moijdikssékool]

oki
si l'on voulait se cantonner au dl sans passer par le reste intégral, il faut se placer sur un point a aussi grand que l'on veut et faire un changement de var du genre y=x/a-1, ce qui revient à étudier le dl de e^a . a^n . exp(y)^a / (y+1)^n en 0, ce qui revient à étudier (1+y)^a / (1+y)^n, quantité que l'on peut aléatoirement minorer lorsque a tend vers l'infini

[Quinto]

avec un changement de variable en u=1/x, on se ramène localement en l'infini et le o(1/u^n) nous donne donc une bonne information.
A+

[moijdikssékool]

avec un changement de variable en u=1/x, on se ramène localement en l'infini et le o(1/u^n) nous donne donc une bonne information

un dl s'effectue en point de R, pas de R barre, point barre