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Developpements limités



  1. #1
    Lilia92

    Developpements limités


    ------

    Bonsoir tout le monde,

    Je sais, il est tard mais pourriez vous m'aider à résoudre cet exercice svp?

    Determiner une condition portant sur les constantes D, E, F pour que la fonction f: R -> R soit continue lorsque, pour tout réel x,

    f(x)=

    Dcos(1/x) si x<0
    E si x=0
    Fx4cos(1/(x3+5+e-5) si x>0


    Je pensais résoudre f(0)=Dcos(1/0) pour determiner D mais on ne peut pas diviser par 0!

    Je bloque, à l'aide!

    Merci.

    -----

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  3. #2
    homotopie

    Re : Developpements limités

    Bonsoir,
    quel rapport a ta question avec le titre ?
    la fonction définie sur R-* par x->cos(1/x) admet elle une limite ? Qu'en conclue-t-on pour D (il faut bien qu'il y ait une limite en 0). Qu'en déduit on pour E ?
    La limite de cette fonction en 0+ dépend elle de F ? Y a-t-il une contrainte sur F ?

  4. #3
    Lilia92

    Re : Developpements limités

    merci homotopie d'avoir répondue.

    je sais pas quel est le rapport entre le titre et l'exercice... je savais pas trop ce que ciblé l'exercice donc j'ai mis le titre de la feuille d'exercices.

    et avant tout c'est Fx4cos(1/(x3+5+e-x) et non Fx4cos(1/(x3+5+e-5)
    comme je l'avais poster la première fois



    Pour ce qui est de tes questions:

    la fonction définie sur R-* par x->cos(1/x) admet elle une limite ? Qu'en conclue-t-on pour D (il faut bien qu'il y ait une limite en 0).
    la limite de cos(1/x) en 0 c'est 1 et il faut que faut Dcos(1/x)=E puisque cos(1/x) tend vers 1 en 0 alors on en deduit que D=E

    Qu'en déduit on pour E ?
    franchement je sais pas!! ... que E=F comme je l'ai dis au-dessus?

    La limite de cette fonction en 0+ dépend elle de F ? Y a-t-il une contrainte sur F ?

    pour commencer : ça veut dire quoi avoir une contrainte sur F
    sinon je pour trouver F je voulais faire f(0)=E donc f(o)= F04cos(1/(03+5+e-0)= F*0*cos(1/6)=E mais on aboutit à E=0 alors que c'est pas vraie d'après l'énnoncé.



    Voilà ce que j'ai fais avec la petite aide de homotopie mais je sens que je viens de faire n'importe alors aidez-moi à corrigez!


    SVP!! des éléments de réponses vennant d'autres personnes aussi m'aiderons!

    Merci. lilia92.

  5. #4
    homotopie

    Re : Developpements limités

    Pour la partie en 0+, ça va à part que tu ne peux affirmer immédiatement que f(0)=F.04cos(1/6) car cette formule n'est pas valide pour la définition de ta fonction f. Il faut justifier à partir de la continuité de la fonction x->x4cos(truc) et dire que tu en prends la limite en 0+.
    Tu as vu toi même que cette limite et 0 pour tout F, or la contrainte pour F était de pouvoir recoller en 0+ : ($) cette limite dépendant a priori de F (a posteriori non : c'est égal à 0 quelque soit F).
    Tu affirmes que cela aboutit à F=0 mais en hésitant. Dans ($), le memebre de gauche vaut F, le membre de droite vaut 0 donc F=0 (et oui ce n'est pas dans l'énoncé, le jour où les réponses seront dans l'énoncé la progression des étudiants risquent forts d'être aussi égale à 0 )

    Maintenant, ta véritable erreur est d'affirmer que la limite en 0 de cos(1/x) est 1. Non, la limite de cos(x) est 1 en 0 pas celle de cos(1/x) (1/x ne tend pas vers 0 quand x tend vers 0- ).
    Reprends cette partie :
    quand x tend vers 0-, 1/x tend vers ?
    quand x tend vers ? (le même que ci-dessus) alors quel est le comportement de cos(1/x) ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Lilia92

    Re : Developpements limités

    encore merci homotopie de ton intervention!!

    Donc si j'ai bien compris comme Fx4cos(1/(x3+5+e-x)) est définis pour tout x>0; je ne peux pas déduire F en posant x=0; donc j'étudie la lim de f(x) en 0+ :

    lim(1/(x3+5+e-x)) en 0+ est égàle à 1/6
    donc lim cos(1/(x3+5+e-x)) = cos (1/6)
    on en deduit que Fx4cos(1/(x3+5+e-x)) tend vers 0 en 0+

    mais et alors?? quelque soit F j'aurais toujours le tout égale à 0 en 0+ puis que x4 en 0+ c'est égale à 0!!! et ton histoire de priori et à priori c'est ...j'avais jamais vu ça dsl.

    Maintenant, ta véritable erreur est d'affirmer que la limite en 0 de cos(1/x) est 1. Non, la limite de cos(x) est 1 en 0 pas celle de cos(1/x)
    Là j'ai compris... j'aurai du prendre en 0- au lieu de lieu 0+ car Dcos(1/x) est définis pour tout x<0!!
    Ok donc lim(1/x) en 0- c'est -l'infini. Or -1<cos(truc)<1 donc je me dis que je dois prend la valeur qui s'approche le plus de -l'infini donc je me dis qu'en 0- la de lim cos(1/x) est cos(1/-1) soit cos (-1) donc égale à 1. (je sens que je fais n'importe quoi...)
    On à donc en 0- Dcos(1/x) qui tend vers D... heu là je sais plus quoi faire du tout!!!

    SVP!! à l'aide!

    Merci. lilia92.

  8. #6
    homotopie

    Re : Developpements limités

    Citation Envoyé par Lilia92 Voir le message
    encore merci homotopie de ton intervention!!

    Donc si j'ai bien compris comme Fx4cos(1/(x3+5+e-x)) est définis pour tout x>0; je ne peux pas déduire F en posant x=0; donc j'étudie la lim de f(x) en 0+ :

    lim(1/(x3+5+e-x)) en 0+ est égàle à 1/6
    donc lim cos(1/(x3+5+e-x)) = cos (1/6)
    on en deduit que Fx4cos(1/(x3+5+e-x)) tend vers 0 en 0+

    mais et alors?? quelque soit F j'aurais toujours le tout égale à 0 en 0+ puis que x4 en 0+ c'est égale à 0!!!
    C'est bien ça.

    [QUOTE=Lilia92] j'aurai du prendre en 0- au lieu de lieu 0+ car Dcos(1/x) est définis pour tout x<0!!
    Ok donc lim(1/x) en 0- c'est -l'infini. [QUOTE]
    Pour cette partie tu as compris (ce n'est malheureusement pas la plus importante)

    [QUOTE=lilia92] Or -1<cos(truc)<1 donc je me dis que je dois prend la valeur qui s'approche le plus de -l'infini donc je me dis qu'en 0- la de lim cos(1/x) est cos(1/-1) soit cos (-1) donc égale à 1. (je sens que je fais n'importe quoi...)[QUOTE]
    Non.
    S'il y avit une limite en -infini pour cos, ça se saurait (il semble que toi tu ne le saches pas, il y a des classiques comme ça où parfois des étudiants passent à tracvers alors que c'est régulièrement fait).
    Et bien faisons-le :
    d'abord faisons tendre X vers -infini par les valeurs X=-(2n)pi où n est un entier qui tend vers +infini, pour ces valeurs particuliètres on a cos(X)=cos(-(2n)pi)=? ce qui tend vers ?
    Maintenant, faisons tendre X vers -infini par les valeurs X=-(2n+1)pi où n est un entier qui tend vers +infini, pour ces valeurs particuliètres on a cos(X)=cos(-(2n+1)pi)=? ce qui tend vers ?
    Peut-il y avoir une limite de cos(X) quand X tend vers -infini ? (Rappel : ceci implique que f(Xn) tend toujours vers une limite, dépendant de f, pour toute suite (Xn) qui tend vers -infini.

    Citation Envoyé par lilia92
    On à donc en 0- Dcos(1/x) qui tend vers D... heu là je sais plus quoi faire du tout!!!
    Prenons de l'avance, il faut que pour que f soit continue en 0 que f admette une limite en 0- égale à f(0).
    Tu verras que déjà pour remplir la condition soulignée il n'y a qu'une valeur possible pour D. Mais que celle-ci convient vu ce qu'on trouvé pour E.

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  10. #7
    Lilia92

    Re : Developpements limités

    oui t'as raison pour la lim de cos à l'infini!!! je sais pas ce qui m'a pris...

    Désolé si je vais paraitre bête parce que je comprends toujours pas très bien après toutes tes explications mais j'ai vraiment du mal en tout cas merci de ton aide.


    d'abord faisons tendre X vers -infini par les valeurs X=-(2n)pi où n est un entier qui tend vers +infini, pour ces valeurs particuliètres on a cos(X)=cos(-(2n)pi)=? ce qui tend vers ?

    on pose X= -2npi d'ou cosX=cos(-2npi) ( je sais si je comprend mal mais ton "pi" je lis en tant que "modulo pi")
    lim en +l'infini de -2npi est égal à -2 d'ou lim en + l'infini de cos(-2n pi)= cos(-2)

    mes questions: pourquoi on pose X= -2npi et quand j'ai trouver cette limite qu'est ce je fais? quel est le rapport entre cos(-2npi) et cos(1/x)??


    Maintenant, faisons tendre X vers -infini par les valeurs X=-(2n+1)pi où n est un entier qui tend vers +infini, pour ces valeurs particuliètres on a cos(X)=cos(-(2n+1)pi)=? ce qui tend vers ?

    on pose X= -(2n+1)pi d'ou cosX=cos(-(2n+1)pi)
    lim en +l'infini de -(2n+1)pi est égal à je sais pas ça me gene de trouver des limite quand il y a modulo pi... j'ai jamais appris ça

    encore une fois quel est le rapport avec la fonction de l'exercice?


    Peut-il y avoir une limite de cos(X) quand X tend vers -infini ? (Rappel : ceci implique que f(Xn) tend toujours vers une limite, dépendant de f, pour toute suite (Xn) qui tend vers -infini.

    y a sans doute une limite sinon tu ne m'aurais pas demander faire tout ça


    merci. lilia92

  11. #8
    homotopie

    Re : Developpements limités

    cos((-2n)pi)=cos(n.2pi)=cos(0)=1 donc cos(Xn) tend vers 1 dans ce cas.
    cos(-(2n+1)pi)=cos((2n+1)pi)=cos(pi +2npi)=cos(pi)=-1 donc cos(Xn) tend vers -1 dans ce cas.
    Si "lim cos(X)" quand x tend vers -infini existait dans les deux cas on aurait eu cos(Xn) qui tend vers cette limite mais, ici, elles tendent vers des valeurs différentes (on peut d'ailleurs trouver pour n'importe quel réel L compris entre -1 et 1 une suite xn tendant vers -infini telle que cos(Xn) converge vers L). La limite de cos(X) quand X tend vers -infini n'existe donc pas.
    Maintenant, questions :
    1) la limite de cos(1/x) existe-t-elle quand x tend vers 0- ? (voilà le lien avec la fonction de l'exercice)
    2) la limite de D.cos(1/x) existe-t-elle quand x tend vers 0- ? (attention la réponse n'est pas la même que pour la 1ère question, celle-ci dépend de la valeur de D)
    3) Qu'en déduit-on pour la valeur de D ?

  12. #9
    Lilia92

    Re : Developpements limités

    bon avant de me lance je dis ce que j'ai compris.

    comme cos(x)=cos(-x) il faut que la lim de ces derniers etudié au même point soit la même; si c'est pas le cas la limite n'existe donc pas.

    il faut que montrer que cos(1/x) n'a pas de limite.

    comme cos(1/x) n'a pas de limite, on en deduit que la limite de Dcos(1/x) dépend de D.

    comme f(0)=E, D doit être égal à E.

    c'est bien quelque chose comme ça?

  13. #10
    homotopie

    Re : Developpements limités

    Citation Envoyé par Lilia92 Voir le message
    il faut que montrer que cos(1/x) n'a pas de limite.
    En 0-, il n'y en a pas (et c'est le seul cas qui nous intéresse, pour les autres valeurs de x il y en a ), je l'ai montré car c'est hors exercice et c'était supposé connu à mon avis.
    Citation Envoyé par Lilia92
    comme cos(1/x) n'a pas de limite, on en deduit que la limite de Dcos(1/x) dépend de D.
    Arrête de considérer que toutes les limites existent !
    Ce qu'on en déduit c'est que pour la plupart des valeurs de D Dcos(1/x) n'admet pas de limite en 0-.

  14. #11
    Lilia92

    Re : Developpements limités

    tout ça pour en déduire que Dcos(1/x) n'a pas de limite!
    donc comme 1/x tend vers -l'infini en 0-; cos(1/x) n'a pas de limite et donc impossible de trouver la valeur de D puisqu'on ne peut pas poser Dcos(1/0)=E c'est ça?
    quelle malheureuse conclusion...


    merci de me répondre à chaque fois. lilia

  15. #12
    homotopie

    Re : Developpements limités

    Citation Envoyé par Lilia92 Voir le message
    tout ça pour en déduire que Dcos(1/x) n'a pas de limite!
    Oui c'est parfois plus difficile de montrer qu'il n'y a pas de limite que d'en calculer une. (Mais cette absence de limite de cos en +/-infini et de cos(1/x) en0 est un classique, bizzare que tu sois passé au travers mais bon...pas de bol).
    Maintenant, on ne déduit pas cela pour toutes les valeurs de D (beaucoup mais pas toutes)

    Citation Envoyé par Lilia92 Voir le message
    donc comme 1/x tend vers -l'infini en 0-; cos(1/x) n'a pas de limite et donc impossible de trouver la valeur de D puisqu'on ne peut pas poser Dcos(1/0)=E c'est ça?
    Non car ce n'est pas vrai pour toutes les valeurs de D.
    [QUOTE=lilia92]quelle malheureuse conclusion.../QUOTE]
    Mais non, mais non la vraie conclusion est moins décevante.

    Il existe une valeur D pour laquelle existe, cherche bien.

  16. Publicité
  17. #13
    Lilia92

    Re : Developpements limités

    heu... la limite elle doit exister pour D=0 puisque comme ça on a une fonction constante égale à 0... le problème c'est qu'on va avoir Dcos(1/x)=0 en 0- alors que je veux que ce soit égale à E en 0-!!

    et je te rassure je sais très bien que cosx n'a pas de lim en l'infini mais je me suis dit qu'on pouvait en trouver une... sinon pourquoi mon proffesseur me l'aurai donné à faire? sur ce ca fait une semaine que je m'arrache les cheveux dessus!

  18. #14
    Lilia92

    Re : Developpements limités

    d'ailleur si je pars dans ce sens je peux dire que D=0 donc Dcos(1/x)=0 en 0- donc f(0)=E=D=0!!!
    et F peut prendre n'importe quelle valeur puisque le tout va tendre vers 0 en 0-!!!
    et la on à trois fois la même limite!! ça marche non? ou mon déclic en quelques secondes c'est du n'importe quoi de AàZ?

  19. #15
    homotopie

    Re : Developpements limités

    Citation Envoyé par Lilia92 Voir le message
    d'ailleur si je pars dans ce sens je peux dire que D=0 donc Dcos(1/x)=0 en 0- donc f(0)=E=D=0!!!
    et F peut prendre n'importe quelle valeur puisque le tout va tendre vers 0 en 0-!!!
    et la on à trois fois la même limite!!
    on y est

  20. #16
    Lilia92

    Re : Developpements limités

    ha enfin! je vais mettre un point sur cette exercice. en tout cas merci pour ton aide

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