Bonjour,
je cherche a montrer que v, la restriction de u a im(u) est bijective.
(sachant que u est linéaire tel que u(x) orthogonal a x. ie: <u(x),x>=0 )
j'ai dit soit v(x) = v(y) 2elément de im(u), on a
<v(x),x>=<v(y),y>=0
<v(x),x>-<v(x),y>=0
<v(x),x-y>=0
or v(x) different de zero ( car l'interection de ker(u) et im(u) est réduite a zero: prouvé plus tot)
donc x-y=0
x=y
ceci suffit il pour affirmer que mon application v est bijective ?
Pourquoi <v(x),x-y>=0 implique t il que x-y=0 ?
c'est evidement faux je ne me suis pas corrigé car personne ne m'a répondu. mais ducoup je ne vois toujours pas coment m'y prendre. le fait que v soit la restriction de u a im(u) signifie par definition que v est surjective je pense il reste l'injectivité donc predre 2 element v(x) et v(y) et montrer que si ils sont egaux alors forcement x=y mais je n'arrive pas
L'application u n'est pas forcément injective : si u=0 ça ne marche pas. Ou si x et y sont dans Ker(u), alors u(x)=u(y)....
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n>=2 et u appartient L(E) non nul tel que pour tout x appartien a E u(x) orthogonal a x.
soit v la restriction de u au sous espace vectoriel im(u)
montrer que v appartien a L(im(u)) est bijectif
Attention : v est un élément de L(Im(u)), c'est donc une application linéaire de Im(u) dans Im(u)...
Il faut te servir de ce que tu as démontré : l'intersection de Ker et Im est réduite au vecteur nul.
v est linéaire et comme c'est la restriction a im(u) alors ker(v)=0 => v est injective.
par contre ce qui est étrange cest que je peut prouver ke ker(u) aussi est égale à zero et si c'est le cas alors pourquoi prendre cette application v ?
ex :
soit x appartenant à ker u
<u(x),x> = <x,u*(x)>
<u(x),x> = <x,-u(x)>
<u(x),x> = -<x,u(x)>
<u(x),x> +<x,u(x)> = 0
come u(x)=0
<0,x> +<x,0> = 0
<x,x>=0
implique x = 0 dapres la definition du produit scalaire
donc ker u =0
Tu confonds un peu tout : v est l'application linéaire de Im(u) dans Im(u) qui à un vecteur y de Im(u) associe u(y).
On veut montrer que v est une bijection. Pour cela on va regarder son noyau. On prend un vecteur k de Im(u) tel que v(k)=0.
Par définition k appartient à Im(u), mais on sait par la définition de v que u(k)=v(k)=0. Donc k est également un élément de Ker(u).
D'après ce que tu as démontré précédemment on en déduit k=0. Donc v est injective. Si on est en dimension finie, c'est terminé. Sinon il reste à montrer que c'est une surjection, ce qui n'est pas compliqué.
merci pour toute tes expliquation, c'est plus clair
