frises (géomètrie)

[invite78818b31]

Bonsoir j'essaye de réaliser un exercice sur les frises en géomètrie de L2 Maths mais je coince un peu...
on note G le groupe de frises et T le sous groupe des translations de Is(E)
Il me faut montrer qu'il existe un vecteur u bien défini au signe près tel que le groupe G inter T soit engendré par la translation Tu mais j'ai du mal...

Merci d'avance ;D
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[Médiat]

Bonjour,

Le groupe G inter T est, par définition, isomorphe à .

Est-ce qu'un tel isomorphisme permet de définir une ou des translations qui engendre(nt) ce groupe (est-ce qu'il existe un ou des éléments de qui engendre ce groupe ?).

Est-ce qu'il peut exister plusieurs tels isomorphismes sans que les vecteurs u et v associés ne vérifient u = v ou u = -v ?

[invite78818b31]

déjà G inter T est une translation si je me trompe pas non? vu que la définition du "inter" c'est que l'élément doit appartenir à la fois à G et à T donc l'élément qu'il nous faut trouver est une translation qui appartient au groupe de frises.
Donc il nous faut trouver u: Z-> G inter T tel que f(u)=Tu et f(u) engendre G inter T
jusque là j'ai bon ou je me suis embrouillé?^^

[Médiat]

déjà G inter T est une translation si je me trompe pas non?

Un ensemble de translations.

vu que la définition du "inter" c'est que l'élément doit appartenir à la fois à G et à T donc l'élément qu'il nous faut trouver est une translation qui appartient au groupe de frises.

Oui

Donc il nous faut trouver u: Z-> G inter T tel que f(u)=Tu et f(u) engendre G inter T

C'est plutôt f : Z -> G inter T, trouver un générateur de Z est plutôt facile, et, par isomorphie, son image par f engendre G inter T.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite78818b31]

Oui pardon je me suis un peu embrouillé dans mes notations...
Ok, donc mettons 1 engendre Z alors par isomorphie f(1) engendre G inter T! et alors il reste plus qu'à montrer que f(1)= Tu
j'ia pris des notations au hasard
désolé de poser pleins de questions mais ces raisonnements géomètriques me paraissent complètement abstraits...

[Médiat]

1 engendre Z

Oui

alors par isomorphie f(1) engendre G inter T!

Oui

alors il reste plus qu'à montrer que f(1)= Tu

Je ne comprends pas ce que vous voulez dire ; f(1) est une translation, donc il existe un vecteur u tel que f(1) = Tu, c'est la définition d'une translation.

[invite78818b31]

Ah oui, j'ai même pas vu la dernière étape...
mais en quoi cela montre qu'il n'existe qu'un u au signe près qui vérifie cela? 1 n'est pas le seul élément à engendrer Z

[Médiat]

1 n'est pas le seul élément à engendrer Z

Exact, mais combien y en a-t-il ? Quels sont-ils ?

[invite78818b31]

ça je dois pouvoir le trouver dans mes cours^^ et en trouvant ça, ca sera la dernière étape à franchir si je comprends bien donc ca devrait aller!

merci beaucoup pour toutes vos réponses