u(2n) et u(2n+1) convergent, est ce que u(n) converge ?

[invite42d01ac7]

Bonjour tout le monde !

Je ne suis pas très doué en math, alors soyez sympa ^^

Je suis en train de faire des quizz sur le net, et face à cette question, je ne sais pas quoi dire... :s

Si deux suites u(2n) et u(2n+1) convergent, est ce que u(n) converge ?

Personnellement je dirais oui, mais sans pouvoir l'expliquer... Pouvez vous m'aider ?

Merci d'avance !
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[Médiat]

Bonjour,

Soit la suite définie par u_n = (-1)ⁿ
Que pouvez-vous dire des limites de u_n, de u_2n et de u_2n+1 ?

[Seirios]

Bonjour,

Un bon exercice que tu peux aussi essayer de résoudre, et de regarder ce qui se passe lorsque et convergent vers une même limite.

[invite00c73359]

Ce que Médiat a donné est un contre-exemple si j'ai bien compris et donc la suite ne converge pas. Pourtant j'aurais moi aussi dit oui puisque et sont bien des suites extraites ( ou sous-suites, je crois que les deux existent ) et si je fouille dans ma mémoire ( qui n'est pas excellente à mon grand regret ) je crois avoir vu un résultat impliquant la convergence des suites extraites et la convergence de la suite ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite332de63a]

Bonjour, en fait si tu te donnes des parties infinies de , on les noteras telles que leur réunion fasse ou au moins un partie cofinie de et telles que si les sous-suites définies sur chacune de ces parties soient convergentes vers une même limite, alors la suite générale converge vers celle-ci.

Pour définir une suite sur A, soit on le fait version application soit on introduit une application de "comptage", genre définie par et par récurrence et alors la sous-suite définie sur A est .

Ici la réunion de et fait bien et sont infinies, donc si les sous-suites de rang pair et impairs convergent vers une même limite, alors la suite générale convergent vers celle-ci.

[invite332de63a]

* comme sous-suite définie sur A

[invite705d0470]

Autrement dit (je recopie juste RoBeRTo- BeNDeR) le résultat que tu ennonces n'est vrai que si elles convergent vers la même limite.
Et de manière plus générale, tu pourras conclure quand à la convergence de la suite si et seulement si toutes les sous suites dont tu connais le comportement vérifient:
- elles convergent
- vers une même limite
- la réunion des ensembles formés par leurs indices (qui sont donc infinis) doit recouvrir N.

Ici, tu as juste considéré les termes pairs et impairs, mais tu peux te poser la question: et si les suites extraites d'indices pairs, impairs et multiples de 3 convergent, que dire de la suite u ?

[invite00c73359]

Ah oui effectivement il fallait la convergence des suites extraites mais vers une même limite. Voila ce que j'avais oublié ^^ Merci