Matrices

[Snowey]

Bonsoir, dans un exercice sur la trace d'une matrice carrée de taille n, j'aimerais montrer que Si M est une matrice inversible, telle que alors quelle que soit la matrice A de rang r considérée, on a .
Mais je ne suis pas sûr du tout que ce soit juste ... :/ (disons que celà me permettrait de conclure ^^)
Est-ce vrai ?

Merci d'avance de votre aide.
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[Seirios]

Bonjour,

Ce résultat n'est malheureusement pas correct : regarde , .

[Snowey]

C'était trop beau ! ...
Merci beaucoup Seirios, je vais du coup chercher dans une autre direction !

[God's Breath]

Bonjour,

Quelques remarques sans rapport apparent avec l'exercice source de cette question, puisqu'on n'en connaît pas l'énoncé.

1. L'application est une forme linéaire sur .
2. Pour tout entier naturel compris entre 1 et , les matrices de rang engendrent .

Si pour toute matrice de rang , alors pour toute matrice , et est la matrice nulle.

On ne peut pas espérer ce résultat à partir de la seule hypothèse : .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Snowey]

En fait, tomber plus juste eut été tâche ardue
Je cherche à montrer qu'un hyperplan des matrices carrées de taille n possède une matrice inversible.
Or beaucoup de questions précèdent ce résultat, dont vos remarques (enfin, pour les deux premières j'ai compris que pour toute forme linéaire il existe une unique autre forme lineaire Ta, liée à la matrice A unique donc par Ta(M)=T(AM) pour M une matrice quelconque) qui lui correspond).
Je pensais avoir une idée, je vous la propose demain matin
Bonne soirée !

[Snowey]

Bonjour
On a montré juste avant que possède une matrice inversible, et il faut en déduire que tout hyperplan (de matrices carrées) contient une matrice inversible.
Or, on a précédemment montré que pour toute forme linéaire , il existe une unique matrice A telle que pour toute matrice M, .

Mon idée: Si H est un hyperplan, considérer une forme linéaire , et A l'unique matrice associée à cette fonction d'après la propriété précédente i.e telle que .
On a alors .
Comme on a montré une propriété sur , j'essayais de lier les deux, mais sans succès.
Est ce que je suis dans une bonne direction ?

PS: Peut être qu'il faut travailler plus en détail, c'est à dire choisir correctement une bonne application, puisqu'on a une infinité de choix.
Il faudrait par exemple que j'écrive H comme noyau d'une trace qui soit liée à A, non plus équivalente à la matrice canonique (ce qui, de toute façon est toujours vrai), mais semblable à celle-ci, ou ... ?
Je ne sais pas trop :/

Merci d'avance de me donner votre avis ou des conseils (je cherche quand même à trouver "un minimum" par moi même, donc hors de question de vous faire faire la démonstration !!!).

[God's Breath]

j'essayais de lier les deux, mais sans succès.

C'est la bonne direction : la matrice A est équivalente à J_r où r est le rang de A.

[Snowey]

J'ai l'impression de passer à côté de quelque chose: puis-je par exemple espérer que l'intersection du Ker(Tr(Jr)) et des matrices inversibles soit incluse dans le noyau de TrA où A est de rang r (et donc équivalente à Jr la matrice canonique associée ) ?

[God's Breath]

Il existe deux matrices inversibles P et Q telles que : A=PJ_rQ ; de là :

T(AM)=Tr(PJ_rQM)=Tr(J_rQMP).

[Snowey]

Vous devez me trouver affreusement nul ...

On note . On a (c'est ).
On a donc . Ce qui donne notamment
On a alors l'existence, pour tout hyperplan, d'une matrice inversible.
J'étais pas si loin.
Quel idiot, je me sens vraiment nul ... :/
Merci pour tout,

Snowey

[God's Breath]

Vous devez me trouver affreusement nul

Pas du tout, démontrer que l'application est un isomorphisme de dans est immédiat, mais il faut du travail pour acquérir le réflexe d'utiliser l'équivalence des matrices.