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Calcul d'un produit convergent



  1. #1
    Karibou Blanc

    Calcul d'un produit convergent


    ------

    Bonjour à tous,

    J'ai besoin de montrer comment le produit : tend vers .

    Quelqu'un aurait-il une idée pour faire ce calcul ?
    Merci d'avance.

    @bientôt

    -----

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  3. #2
    Quinto

    Re : Calcul d'un produit convergent

    Salut,
    il me semble que si on en prend le ln et que si on utilise l'analyse de Fourier, ca va tout seul, mais je te dis ca de mémoire, mais ca ne me semblait pas bien méchant a l'époque(si je ne me trompe pas, mais je crois bien que ca marche ainsi)

  4. #3
    bolzano

    Re : Calcul d'un produit convergent

    Salut.
    Je pense que j'ai la reponse.
    On prend ln du produit, en suite la fonction ln(1+ (a²/pi²x²)) est decroissante.donc
    ln(1+ (a²/pi²(n+1)²)) < ln(1+ (a²/pi²x²)) < ln(1+ (a²/pi²n²))
    en prenant l'integrale entre n et n+1 et en faisant la somme on se rend compte que la limite de la suite en ln est egale a la limite de l'integrale de ln(1+ (a²/pi²x²)) entre n et n+1.On peut la calculer facilement si on calcule l'integrale de ln(1+ x²) et ln(x) entre n et n+1.(ca se fait par parties)
    Tu vois ce que je veux dire?
    Tu vois je galere pour les formules, tu aurais pas un lien a un logiciel pour les formules.(j'ai deja posté un sujet pour un editeur, mais on m'a donné un site et je suis perdu.Donne moi stp le lien direct pour le telecharger)
    Merci a toi aussi

  5. #4
    Karibou Blanc

    Re : Calcul d'un produit convergent

    Salut,

    J'ai essayé ta méthode Bolzano, mais cela me donne simplement un encadrement de la somme (et donc du produit avec la transformation : exp->ln). Bref tu es sûr qu'on peut obtenir un résultat exact avec cette méthode ?

    Sinon j'ai utilisé le code LATEX pris en charge sur le forum. Tout t'es expliqué ici.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Quinto

    Re : Calcul d'un produit convergent

    T'as essayé de faire comme je t'ai dit?
    Par exemple avec le théoreme de Parseval (formule de Parseval plutot ici) ca doit se faire. Je l'ai fait ainsi il n'y a pas si longtemps, mais impossible de remettre la main dessus, et je n'ai pas envie de refaire les calculs.
    Cela étant passer au log me semble totalement approprié ici...

    De quel niveau est inspiré cette question? Dans quel chapitre apparrait elle? Analyse de Fourrier que ca ne m'etonnerait pas...

  8. #6
    Quinto

    Re : Calcul d'un produit convergent

    Petite précision:
    Le produit infini ne tend pas vers, mais vaut exactement sin(a)/a.

    Question de vocabulaire

  9. Publicité
  10. #7
    bolzano

    Re : Calcul d'un produit convergent

    Citation Envoyé par Karibou Blanc
    Salut,

    J'ai essayé ta méthode Bolzano, mais cela me donne simplement un encadrement de la somme (et donc du produit avec la transformation : exp->ln). Bref tu es sûr qu'on peut obtenir un résultat exact avec cette méthode ?

    Sinon j'ai utilisé le code LATEX pris en charge sur le forum. Tout t'es expliqué ici.
    non mais l'encadrement te donne une limite de la somme.Et apres tu en deduis la limite du produit.

  11. #8
    µµtt

    Re : Calcul d'un produit convergent

    La formule avec un '-' au lieu d'un '+' est un grand classique taupinesque, démontrée par Euler en premier (cf l'excellent bouquin http://www.springer-paris.fr/livre/m...-540-67463.htm ) et donne sin(z)/z pour tout complexe (remplacer a par a*i).

    Je suis sûr qu'en cherchant un peu ça doit se trouver sur la toile.

  12. #9
    Karibou Blanc

    Re : Calcul d'un produit convergent

    Salut,

    Quinto, je ne vois pas en quoi l'analyse de Fourier et le théorème de Parvesal peuvent m'aider. Je te serais reconnaissant si tu pouvais me lacher un peu plus d'info
    Sinon, j'ai besoin de ce produit pour calculer une intégrale de chemin en mécanique quantique.

    Bolzano, l'encadrement que j'ai trouvé pour la somme (après avoir pris la limite) ne me permet pas de dire que cette dernière vaut une valeur précise, j'ai toujours un encadrement entre telle et telle valeur (et elles sont différentes bien sûr). Si tu pouvais me préciser tes pensées sur ce point, ce serait sympa.

    Merci

  13. #10
    Quinto

    Re : Calcul d'un produit convergent

    Je t'ai envoyé la solution par Fourier en MP.
    Bonne chance.
    A+

  14. #11
    Karibou Blanc

    Re : Calcul d'un produit convergent

    Salut,

    Après quelques manipulations, je suis ramené à l'étude de la série S=Somme(n=1..inf,).

    Quelqu'un sait ce que vaut cette série ?

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