Element primitif de Z/p2Z

[invite72334b6e]

Bonjour,

Si p est premier, et g est un élément primitif de Z/pZ alors comment montrer que soit g , soit g + p est un élément primitif de Z/p²Z ?

Merci d'avance.
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[invite2e5fadca]

Soit g un élément d'ordre p. (Je vais traiter p>2, pour p=2, faire à la main). Alors, on a , donc où k est un entier relatif. Alors, on a
et
Si p ne divise pas k, tu as que et tu en déduis que g est d'ordre p(p-1) dans Z/p²Z, donc primitif dans Z/p²Z.
Si p divise k, alors . Or p ne divise pas , donc , et comme avant, g+p est primitif.

Remarque : c'est bizarre, je ne vois pas où j'ai utilisé que g est primitif dans Z/pZ, donc fait attention.

[invite2e5fadca]

Le raisonnement de mon second point n'est pas juste. C'est bizarre, parce que pour montrer que h est primitif dans Z/p²Z, il suffit de vérifier que pour tout d / p-1 avec d<p-1, on a
Or ici, on a toujours , donc pour moi, on a toujours que g et g+p ont le même ordre dans Z/p²Z avec ces hypothèses.

[invite2e5fadca]

Si d / p-1 avec d<p-1, alors notons . En réduisant mod p, on obtient par hypothèse sur g. Ainsi, on ne peut avoir
Donc g est primitif dans Z/p²Z.

EDIT : En fait, il faut distinguer les cas p=2 et p>2. Si on regarde bien ci-dessus, on utilise que p>2 (Sinon, il n'y a pas de diviseur d de p-1 vérifiant d<p-1). Dans le cas p=2, on voit à la main qu'il faut prendre g+p=g+2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite72334b6e]

Merci beaucoup !