Vrai ou Faux : intégrabilité

[invite4b121bed]

Bonjour,

Je rencontre quelques problèmes pour repondre à cette question :

Soit f continue, positive et integrable sur ]0,infini[
Peut-on dire limite en l'infini de f(t) = 0 ?

Voilà visuellement je me dis que c'est juste
Mais je suis pourtant sur qu'on pourrait y trouver un contre-exemple mais je ne le vois pas ^.^'

Merci d'avance pour vos réponses ! =)
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[invite6919e4bc]

Salut,

je pense aussi que f tend vers 0. Tu peux raisonner par l'absurde : suposons . A partir de ça, par continuuité, il existe un petit segment autour de x tel que sur ce segment. Et ces segments il en exite une infinité d'après la phrase logique précédente. Donc l'intégrale n'est pas majorée.

[invite57a1e779]

Bonjour,

Le résultat est faux.

Tu peux étudier l'intégrabilité sur de suivant les valeurs de : tu obtiendras des fonctions positives, continues, intégrables sur , qui ne tendent pas vers 0 en .

[invite6919e4bc]

Ah mince ma preuve est fausse, puisque la taille de mes segments n'est pas fixe... Désolé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Pour ce genre de question, le livre "Contre exemples en mathématiques" de Bertrand Hauchecorne est tout indiqué. Et il est très fourni !

Pour ce problème précis, il donne l'exemple d'une fonction nulle sauf autour des entiers, où elle a une forme de pic (2 portions de fonctions affines), de plus en plus étroit (et de plus en plus haut ? je ne me souviens plus) lorsque x augmente. En choississant bien la forme des pics, on trouve une intégrale finie, mais la fonction ne tend pas vers zéro en l'infini.

Bonne journée.

[invitebf26947a]

Prend un contre exemple, genre ln(x) defini, continue integrable sur ]0; infini[
limite en + infini de ln(x) = +infini

[invite57a1e779]

ln(x) [...] integrable sur ]0; infini[

Vraiment ? Quelle est la valeur de ?

[invite4b121bed]

Merci pour vos réponses !

oui je pense que c'est plutôt ln(1+x) pour résoudre le problème en 0 mais en +infini il me semble que ce n'est pas intégrable non ?

God's Breath : Sur votre contre-exemple je suis arrivé alpha>1/2 pour que la fonction soit intégrable en l'infini mais pour que celle-ci ne tende pas vers 0 il faudrait pourtant alpha<0, je ne comprends pas =/ aurais-je fait une erreur de calcul alors? ^.^'

[invitebf26947a]

Vraiment ? Quelle est la valeur de ?

Oui, pardon elle diverge.

[invite57a1e779]

La fonction que j'ai indiquée prend la valeur 1 pour tous les x multiples de pi.
Elle n'est jamais de limite nulle à l'infini.

Tu peux aussi essayer .

[invite4b121bed]

Ah mais oui suis-je bête !

Merci encore et bonne journée à tous =D