Transformée de Fourier et théorie des distributions.

[deyni]

Bonjour,

Je voulais savoir pourquoi la justification rigoureure de l'existence la transformée de fourier faisait appel à la théorie des distribution.

Merci.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

On fait très bien définir la transformée de Fourier de fonction L¹ ou L² sans faire appel aux distributions.

[deyni]

Oui, mais on prof m'a dit que ce n'était pas rigoureux.
Si on voulait faire la rigeur, on devrai utiliser les distribution.
Et je ne vois pas pourquoi. Si les fonctions sont carrés intégrables, où est le problème?

[inviteea028771]

L'existence de la transformée de Fourier dans quel espace?

Non, parce que la transformée de Fourier des fonctions intégrables ne pose aucun problème : il n'y a pas besoin de les définir à l'aide des distributions.

Si , alors

Par contre on a un problème : la transformée de Fourier d'une fonction intégrable n'est pas nécessairement intégrable. On ne peut alors pas définir sa transformée de Fourier !

Si les fonctions sont carrés intégrables, où est le problème?

La définition précédente n'est plus valide : l'intégrale n'est pas forcément convergente.

On défini la transformée de Fourier dans L²(R^n) par densité : Les fonctions continues à support compact sont denses dans L²(R^n), et on peut calculer leur transformée de Fourier -> on passe à la limite

Mais de la même façon, le résultat n'est pas nécessairement dans L²


Pour pouvoir écrire sans se poser de question F(F(f))), il a fallu inventer les distributions (et plus précisément, l'espace ou tout se passe bien, c'est l'espace des distributions tempérées, un peu plus petit que l'espace des distributions toutes entières)

[A voir en vidéo sur Futura]

[deyni]

Merci de votre réponse.

Mais, il me semble, a tort sûrement que:


L'espace des distribution, ce n'est pas l'espace de Schwartz?

[inviteea028771]

Arg, j'ai dit une grosse bétise (comme d'hab) -_-' Oui, tout se passe bien dans L².

Par contre non, l'espace de Schwartz (souvent noté S' ) n'est pas l'espace des distributions (souvent noté D').

D' est le dual des fonctions C infinies à support compact, alors que S' est le dual des fonction C infinies a décroissance rapide (elles doivent tendre, ainsi que toutes ses dérivées, vers 0 en +oo plus vite que n'importe quel polynôme ).
http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Schwartz

Il y a donc des distributions qui n'appartiennent pas à la classe de Schwartz

[deyni]

Ok. Merci bien
Donc, toutes les fonctions qui n'appartiennent pas à l'espace de Scwartz doivent faire appel à la théorie des distributions pour calculer les transformées de Fourier.

Si la fonction appartient à L^2, aucun problème. Si elle n'appartient pas à L^2, il faut voir si elle appartient à Schwartz.
Si elle ne lui appartient pas, calcul infaisable.