Théorie des Distributions, Théorie des opérateurs

[invite84eba484]

Bonjour,

Voila je me pose une question, et pour tout dire j'y ai pas trop réfléchi encore, mais je me demande si il y a un lien entre ces deux théories ? et si oui lequel ?

Parce que aujourd'hui, beaucoup de recherche en physique mathématique porte sur la théorie des opérateurs et si il y a effectivement un lien étroit entre les distributions et les opérateurs, pourrais t'on (ou on le fait peut etre déja) utiliser les résultats de la théorie des distributions a la théorie des opérateurs ?

Car j'imagine que la premiere est plus devellopée que la seconde non ?

Ps: j'oublier un détail important, je ne suis pas matheux, je suis plutot physicien avec un bagage en math acceptable donc si les réponse apporté pouvais rester a un niveau convenable (pas trop abstrait, pas trop facile non plus) merci

Bon ce n'est ni un exo, ni du cours, juste un peu de culture générale. Donc rien ne presse
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[invite84eba484]

Bonsoir je relance le sujet sur le lien entre ces deux théories.

je cite :

[...] les distributions sont des formes linéaires sur un ensemble de fonctions [...]

n'est pas la méme chose pour les opérateurs ? Ce sont bien des forme linéaire sur un ensemble de fonction ? (Par exemple l'espace de hilbert)

Donc je redemande ce qui différencie les distributions des opérateurs ?

Bon faudrais peut etre mieux définir un opérateurs et voir aussi les autres "ingrédients" dans la définition d'une distribution...

[GrisBleu]

Salut

Dans ma comprehension d'un operateur, c'est juste un mapping d'un ensemble a un autre.Dans ce sens les distributions sont des operateurs.
Si tu penses aux operateurs de la MQ, ils n'ont pas les memes contraintes que les distributions.
Une distribution est continue par exemple. Son ensemble de depart est assez restreint par rapport aux operateurs de la MQ.
Et depuis le debut de la MQ, operateurs et distributions sont liees: des distributions sont valeurs propres (generalisees) d'operateurs de base comme la position ou le moment. PAr exemple, les dirac en x sont vp de l'operateur poistion X de valeur propre x

Cdlt

[invite84eba484]

Bonjour wlad,

Je te cite : "Dans ce sens les distributions sont des operateurs" et ensuite tu dit :

'Si tu penses aux operateurs de la MQ, ils n'ont pas les memes contraintes que les distributions.
Une distribution est continue par exemple."

Oui je pense aux opérateurs de la méca Q, et qu veut dire par une distribution est continue ? parce la notion de continuité apparais aussi dans la théorie des opérateurs !

Et en dehors du fait que les opérateurs ont un ensemble de départ plus grand je ne vois toujours pas de différences "fondamentale" entre un opérateur et une distribution ?

Il y a effectivement un lien entre les distributions et les opérateurs en mécanique quantique et plus encore en théorie des champs, mais pourrai t'on par exemple donné des synonymes a certaines notions des distribution pour la théorie des opérateurs ou vice versa ?

Par exemple, un opérateur continu est il l'équivalent dans la téorie des distribution a une distribution continue ?

Que représenterai un opérateur non borné en théorie des distribution ?

Un autre exemple trés important en physique, la non commutativité des opérateurs a elle un équivalent en théorie des distribution ?

Bon voila tout un tas de question désordonnées auquel je voudrais trouver une réponse, peut que tout ceci n'a aucun sens mais dans ce cas pourquoi ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite30f06b89]

Pour moi ça n'a aucun sens, je pense que ta question vient d'une mauvaise compréhension des objets.

D'un côté on a les distributions qui sont des formes linéaires sur l'espace des fonctions infiniment différentiables à support compact, grosso modo elles généralisent la notion de fonction au sens ou il est facile d'injecter les espaces fonctionnels classiques dedans.

De l'autre on a le mot opérateur bon pour moi c'est pas un mot bien défini généralement ça désigne une application linéaire (mais on a aussi des "opérateurs" non linéaires) continues (mais on a aussi les opérateurs non bornés) d'un espace de fonctions dans un autre (généralement un Hilbert ou un Banach, en MQ c'est typiquement un Hilbert) donc a priori je mettrai pas les formes linéaires dedans (mais si y a un specialiste il pourra confirmer ou un infirmer) mais ça me semble être une simple question de vocabulaire.

Pour résumer je dirai que le mot opérateur c'est du jargon et que généralement quand on l'emploie on parle d'un truc qui tape dans un espace de fonction et pas dans C.

[invite84eba484]

Pour résumer je dirai que le mot opérateur c'est du jargon et que généralement quand on l'emploie on parle d'un truc qui tape dans un espace de fonction et pas dans C.

Bonjour,

Oui c'est vraie, cette différence est fondamentale !

Les distributions sont des "super fonctions" en gros, les opérateurs eux sont des objets qui agissent sur les fonctions.

Mais alors existe il des opérateurs qui agissent sur les distributions (si cela a un sens) ?

Une distribution vas bien de C dans C non ? J'ai un peu de mal a voir sur wikipédia mais je pense que oui.

Et donc il pourrais exister des opérateurs qui agissent sur les distributions.

[invited73f5536]

Bonjour.

Une distribution vas bien de C dans C non ?

et qu veut dire par une distribution est continue ?

Des phrases comme celles-ci montrent que tu n'as pas vraiment compris ce qu'est une distribution.

Je pense qu'avant de te demander si on peut généraliser les distributions aux opérateurs, ou réciproquement, tu devrais d'abord t'atteler à comprendre correctement les distributions et les opérateurs séparément.

[GrisBleu]

Et donc il pourrais exister des opérateurs qui agissent sur les distributions.

Effectivement, ca existe en MQ. Un livre dont j'ai parle dans la rubrique lecture (Mathematiques pour la physique) serait une bonne reference pour tes questions

Pour clarifier le vocabulaire, tu devrais bien voir qu'une ditribution / fonction / operateur est un nom qu'on donne a des objects clairement definis par un ensemble de depart, d'arrivee et leur graphe sur ces ensembles.
L'ensemble de depart des distributions est different de celui des operatedur de la MQ. Donc meme si ce sont des "operateurs", ce ne sont pas les memes choses, il faut s'en tenir au definition pour ne pas melanger.

A+