Problème de statistique

[Gabriel]

Bonjour.
J'ai soumis un problème de statistique dans le forum "mathématiques du collège et du lycée" mais je n'ai pas eu de solution ou de piste :


Les résultats des admissions au concours d'entrée d'une école sont affichés : sur les 1254 candidats, seulement 323 sont admis.
Jean n'est pas parmi les reçus et pourtant il pense avoir très bien réussi les épreuves.
C'est effectivement ce qu'il constate quand on lui fait parvenir ses notes. Sur l'ensemble des épreuves, il a une moyenne de 14 sur 20.
Après publication du rapport du jury, il constate que la moyenne des candidats à été de 8. Il connaît au moins 11 camarades qui on eu 0

Immédiatement, il est persuadé que le jury s'est trompé et souhaite déposer un recours. Qu'en pensez vous ?
Pour répondre à la question (si le jury s'est trompé ou pas), on s'appuiera sur des calculs statistiques.

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Voici mes recherches :

1°) Supposons pour simplifier le problème, que les notes des candidats
soient réparties d'une manière linéaire.
Autrement dit la courbe de répartition du nombre de candidats en
fonction des notes ressemble à un chapeau pointu, et non pas à une
courbe en cloche.
1°a) Supposons que la médiane des notes soit m=10
Le chapeau s'étale donc de 0 à 20 avec un maximum pour x=10
De 0 à 10, y=x
De 10 à 20 y=-x
On peut diviser les notes en 4 "quartiles" :
313 candidats ont de 0 à 5
313 candidats ont de 5 à 10
313 candidats ont de 10 à 15
313 candidats ont de 15 à 20

L' "écart-type" est égal à s=5

Il y a 1254 candidats.
323 candidats ont été admis.
Cherchons à quelle note minimale correspond le dernier admis :

323 / 1254 = 25,75 %

25,75 % x 20 = 14,84

Les notes des 323 admis s'étalent donc de 14,84 à 20
Le dernier admis a 14,84
Or Jean a eu 14
Donc Jean est recalé !
C'est normal avec les hypothèses qu'on a pris.

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1°b) Prenons la même courbe en forme de chapeau pointu, mais centrée sur m=8
Gardons la même allure à cette courbe, c'est à dire le même "écart-type" s=5
Alors on voit que les notes s'étalent de -2 à 18
Tout est décalé vers la gauche de x=2
Donc les notes des 323 admis s'étalent de 12,84 à 18
Or Jean a eu 14
Donc Jean est admis !

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2°)a) Considérons la vrai répartition des notes en forme de cloche,
centrée sur m=10
Les notes s'étalent de 0 à 20
On sait que :
50% des candidats sont répartis sur m - 2/3 s et m + 2/3 s
68% des candidats sont répartis sur m - s et m + s
95% des candidats sont répartis sur m - 2s et m + 2s
99,7% des candidats sont répartis sur m - 3 s et m + 3 s

On peut approximer 99,7% à 100 %
C'est à dire que les 1254 candidats ont une note entre 10-3s et 10+3s
C'est à dire entre 0 et 20.
Par symétrie de la courbe en cloche, 627 candidats ont une note entre
10 et 20

On peut donc écrire 10 + 3s = 20

D'où l'on déduit s = 3,33

En reprenant l'égalité : 50% des candidats sont répartis sur m - 2/3 s
et m + 2/3 s
c'est à dire 627 candidats entre 7,77 et 12,22

Au total on en déduit que :
313 candidats ont entre 0 et 7,77
313 candidats ont entre 7,77 et 10
313 candidats ont entre 10 et 12,22
313 candidats ont entre 12,22 et 20

Or 323 candidats ont été admis.
Jean ayant obtenu 14, il est nécessairement parmi les 313 candidats
situés parmi le 4ième quartile situé entre 12,22 et 20.

Donc Jean est admis !

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2°b) Plaçons-nous dans les conditions du problème où la médiane m=8

Supposons que la courbe en cloche aît la même allure que précédemment,
c'est à dire s = 3,33
La courbe est décalée de 2 crans vers la gauche.
On en déduit que les notes s'étalent entre -2 et +18
8 -10 = -2
8 +10 = 18
Les 313 candidats situés dans le 4ième quartile ont donc une note
située entre 10,22 et 18
Jean ayant obtenu 14 est admis !
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J'ai essayé une autre méthode : en supposant que la répartition des notes soit gaussienne, c'est à dire y = (1/rac(2 pi))exp (-x2) (de mémoire) , avec axe des x = les notes obtenues, et axe des y = le nombre de candidats ayant obtenu la note x ,
on peut exprimer x en fonction de y.
Puis chercher la valeur x qui correspond à y = 323 , c'est à dire la note minimale pour être admis.

En prenant le logarithme népérien des 2 membres de l'équation, j'arrive à un résultat abérant :
x2 = - 36 (environ)

d'où x = 6i (environ) avec i=rac(-1)

Je patauge lamentablement ...
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[inviteea028771]

Immédiatement, il est persuadé que le jury s'est trompé et souhaite déposer un recours. Qu'en pensez vous ?
Pour répondre à la question (si le jury s'est trompé ou pas), on s'appuiera sur des calculs statistiques.

Que c'est idiot comme question, on ne peut pas savoir avec certitude si le jury s'est trompé ou pas. Il faudrait connaitre la distribution des notes (qui dépend beaucoup du concours)

Pour prendre un exemple absurde :

Le jury à raison :
- il est le seul à avoir 14
- 500 élèves ont 20
- 1 élève a 19
- 752 élèves ont 0

Le jury à tord :
- 11 élèves ont 0
- 1 élève a 2
- 1230 élèves ont 8
- il est le seul à avoir 14
- 11 élèves ont 16

Par exemple, le fait que 11 de ses connaissances aient eu 0 (donc probablement une part non négligeable, il ne doit pas connaitre plus de 100 personnes qui passent le concours, et en supposant que ses amis soient représentatifs, ça fait plus de 10% de 0) permet d'éliminer une répartition gaussienne des notes

[gg0]

Les problèmes mal posés n'ont pas plus de bonnes réponses dans un forum que dans l'autre !!!

[Gabriel]

Merci Tryss et ggo pour vos réponses.

N'y aurait-il pas moyen de progresser dans la résolution de ce problème en supposant que le nombre de candidats (y) ayant obtenu une note (x) soit réparti selon une courbe en cloche de gauss ???
(courbe qui serait tronquée pour x=0 , puisqu'il y a au moins 10 candidats ayant obtenus 0 )

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Pourriez-vous m'aider sur la question annexe que je me suis posée : à partir de l'équation de la courbe de gauss y=(1/rac 2pi)exp(-x2), est-il possible d'obtenir l'équation réciproque x = fonction de y ?
Ceci afin de calculer la note obtenu par le plus faible des 323 admis ?

Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ok;

Donc on change de problème. On suppose que la répartition des notes suit (approximativement) un répartition gaussienne et que avec 14, on est au moins 324-ième.
Donc sur le modèle Normal sous-jacent, X étant la note théorique d'un individu pris au hasard, on sait :
* moyenne = 8
*
*
Notons la variance. La première inégalité donne (si mes calculs sont bons) (arrondi).
Le cas correspond au fait qu'avec 14 on est 324-ième. Mais avec un tel écart type, il n'y a que 70% environ de la population entre 0 et 20. Comme si est encore plus grand, la situation empire, cette hypothèse qu'avec 14 on est au delà de la 323-ième place est irrecevable, et on peut conclure qu'elle est fausse.

Disons que pour qu'avec une moyenne de 8, les notes restent essentiellement entre 0 et 20 (disons entre -4 et 20 pour la symétrie) et que leur répartition soit gaussienne, il faut un écart type inférieur à 4 (intervalle ), et on s'attend en tronquant à 0 a n'avoir que 2,3% de notes nulles (cas de ) ou moins, ce qui est compatible avec les 0,8% qui sont connues par Jean.

Voilà. C'est un peu un exercice de divination (quel est l'idée de l'auteur de ce sujet mal ficelé ? ).

Cordialement.

NB : Je te laisse faire les calculs, après tout, c'est au moins une chose dont je suis sûr : Ton prof veut que tu calcules.

[Gabriel]

Merci gg0 pour ta réponse.

Pourrais-tu reformuler ta réponse, en supposant que la répartition est gaussienne, et en supposant que le jury s'est trompé à propos de Jean, c'est à dire en ne retenant comme certain, que le fait qu'il y aît 323 admis sur les 1254 candidats ?
Et aussi, pour simplifier le raisonnement que les notes s'étalent entre -4 et +20 pour conserver la symétrie de la courbe autour de la médiane 8.

Par ailleurs, lorsque j'essaye de trouver la note du 323 ième admis (en utilisant la fonction réciproque : y=exponentielle de x , x= logarithme de y), je trouve un résultat abérrant : 6 i (un nombre imaginaire pur)

PS : je ne connais pas le prof qui a posé ce problème.

[gg0]

C'est impossible. dans ce cas, on ne sait rien d'autre sur la loi Normale que sa moyenne et une hypothèse inexploitable : au moins 11 notes à 0.
C'est pour cela que j'ai essayé soit d'utiliser le fait que les admis ont plus que Jean, soit que la répartition des note est en gros gaussienne sur l'échelle de 0 à 20.

Il ne faut pas rêver : Quand on ne sait pas grand chose, on n'en déduit pas grand chose.

Si ce n'est pas un exercice que tu dois faire, laisse-le tomber : Il nous a fait perdre bien trop de temps.

Cordialement.