Convergen en loi

[Tiky]

Bonsoir,

J'ai un exercice qui me laisse perplexe. La réponse me semble évidente et sans intérêt aussi je pense m'être trompé. L'énoncé est le suivant :
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. On suppose que ces variables sont de carré intégrable.
On pose .

On me demande ce que je peux dire de la limite de où est une constante différente de .
On ne précise pas le mode de convergence. Je choisis donc le mode de convergence le plus faible que je connaisse, à savoir la convergence en loi.
Or cette suite ne converge pas en loi selon moi. En effet si je pose et

En utilisant le théorème central-limite et le théorème de Paul-Lévy, j'obtiens que converge en loi si et seulement si la suite de fonctions admet
une limite pour tout .
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