Opérateur adjoint, démonstration.

[inviteaa7fccc7]

Bonjour a tous, merci d'avance pour votre aide !

voila je commence le cours sur les opérateurs adjoint, et dans celui-ci on cherche a demontrer que

(u∗)∗ = u.

voici le début de la démonstration:

< u(x), y >=< x, u∗ (y) > (jusque la c'est le cours).
Par d´efinition, on a < x, u∗ (y) >=< (u∗ )∗ (x), y >. Donc < u(x), y >=< (u∗ )∗ (x), y >.

Ca parait évident, cependant je ne vois pas comment on a < x, u∗ (y) >=< (u∗ )∗ (x), y >.

Su wikipedia on trouve



Mais c'est pareil je ne comprend pas le passage de la 3eme a la 4eme etape !

quelqu'un peu m'expliquer pourquoi on peu ecrire cela ?

Merci beaucoup a vous tous !
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[invite57a1e779]

Bonjour,si tu notes , la relation :



n'est autre que :

.

qui provient de la définition de l'adjoint de .

Si tu es gêné parce que et ne sont pas «du bon côté» du produit scalaire, tu fais comme sur wikipedia, et tu remarque que l'égalité :



fournit, par conjugaison, la relation dont tu as besoin.

[gg0]

Bonjour.

Tu devrais faire attention à la situation : Es-tu sur un espace réel ou complexe ? Ta première explication (bien mal écrite, il manque les quantificateurs qui permettent de comprendre) semble correspondre au cas réel, et Wikipédia (enfin ce que tu as copié) est dans le cas complexe. Si mes souvenirs sont bons, il faudrait que tu saches si tu fais de l'euclidien (avec un produit commutatif) ou de l'hermitien (le produit n'est plus commutatif).

Je ne suis pas spécialiste, j'espère que d'autres complèteront.

Cordialement.

[inviteaa7fccc7]

Ok merci effectivement j'avais pas assez détaillé, on était dans un espace euclidien. Merci pour votre aide !

Plutôt que de créer un nouveau sujet je continu ici, j'essaie de faire quelques exercices pour un peu mieux comprendre tout ca, et en voici un dont j'ai la correction mais il y a un point que je n'arrive pas a comprendre:

On est dans un espace euclidien (E) et u est une application de E dans E, telle que pour tout x de E, llu(x)ll = llxll. Montrer que pour tout x,y de E:
<u(x),u(y)>=<x,y>.

voici la correction : llu(x+y)ll² = llx+yll² (énoncé)
<u(x+y),u(x+y)> = <x+y,x+y> (découle de la ligne au dessus, avec la relation scalaire-norme)
llu(x)ll² + 2<u(x),u(y)> + llu(y)ll² = llxll² + 2<x,y> + llyll² et la je comprend pas... la seconde partie (llxll² + 2<x,y> + llyll²) découle de (<x+y,x+y>) il me semble , mais pour la première partie (llu(x)ll² + 2<u(x),u(y)> + llu(y)ll²) selon moi elle découle de <u(x+y),u(x+y)> mais seulement si u est une application linéaire. Or ce n'est pas précisé dans l'énoncé et en plus on doit le démontrer dans la suite (que c'est une application linéaire) du coup je suis bloqué je ne comprend pas comment on obtient cette égalité, surtout le 2<u(x),u(y)>

Comment je peux trouver cette égalité sans utiliser la linéarité ?

Merci beaucoup pour ceux qui prennent le temps de me répondre !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

On est dans un espace euclidien (E) et u est une application de E dans E, telle que pour tout x de E, llu(x)ll = llxll. Montrer que pour tout x,y de E:
<u(x),u(y)>=<x,y>.

Cet énoncé est faux si n'est pas linéaire.

Je considère un vecteur unitaire dans et l'application :


Alors pour tout de :

et

donc satisfait l'hypothèse de l'énoncé sans être linéaire.

Mais, pour tout non nul de :

et

donc : et ne satisfait pas la conclusion de l'énoncé.

[inviteaa7fccc7]

Merci beaucoup pour ton explication ! c'est beaucoup plus clair ..

dernière question, si l'on dit que f est une symétrie orthogonale (f est un endomorphisme de E espace euclidien), est-ce que cela veut dire que f(x) = x pour tout x appartenant a E ?

dans le cours on me dit que f est symétrique orthogonale <=> f est symétrique (i.e <f(x),y>=<x,f(y)>) ... vu que je suis pas bien sur de ce qu'est une symétrie orthogonale je ne sais pas comment démontrer cette équivalence ?

Meric encore une fois ! vous m'aidez vraiment beaucoup !

[inviteaa7fccc7]

Merci beaucoup pour ton explication ! c'est beaucoup plus clair ..

dernière question, si l'on dit que f est une symétrie orthogonale (f est un endomorphisme de E espace euclidien), est-ce que cela veut dire que f(x) = x pour tout x appartenant a E ?

dans le cours on me dit que f est symétrique orthogonale <=> f est symétrique (i.e <f(x),y>=<x,f(y)>) ... vu que je suis pas bien sur de ce qu'est une symétrie orthogonale je ne sais pas comment démontrer cette équivalence ?

Meric encore une fois ! vous m'aidez vraiment beaucoup !