adjoint

invite371ae0af · 07/04/2012, 19h59

bonjour,

j'aurai une question sur l'adjoint:
E=R₂[X]
B={1,X,X²}

j'ai trouvé une base orthormée à B
C={e'1=e1,e'2=e2-e1,e'3=(e3/2)-e2+(e1)/2} avec e1=1, e2=X et e3=X²

soit u l'endomorphisme de E tel que u(P)=P". Déterminer l'adjoint u* de u.

j'ai pris A=mat $\text{[math]}$ u et A*=mat $\text{[math]}$ u*

comme C est orthonormée on $\text{[math]}$
Je pose P=ax²+bx+c donc P"=2a
donc A=
2 0 0
0 0 0
0 0 0

et donc A*=A donc u est auto-adjoint

mais je ne pense pas que ce soit ca car la matrice que j'ai pour A est trop simple. Ou est je fais la faute?

merci de votre aide

invite57a1e779 · 07/04/2012, 23h18

Bonjour,

Je pense qu'il y a une erreur dans ta matrice dont les colonnes donnent, dans cet ordre :

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , d'où :

$\text{[math]}$

invite371ae0af · 08/04/2012, 11h47

oui c'est exact, tu as raison la matrice est bien celle -là
mais dans ce cas c'est quoi u*?
je suis donc obligé de chercher la matrice de passage de B à C pour déterminer une expression de u*?

invite57a1e779 · 09/04/2012, 10h33

Bonjour,

L'adjoint $\text{[math]}$ est l'endomorphisme dont la matrice dans la base $\text{[math]}$ est :

$\text{[math]}$ [/QUOTE]

ce qui suffit à le définir par l'image d'une base :

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Si tu préfères définir $\text{[math]}$ dans la base $\text{[math]}$ , tu peux déterminer la matrice de changement de base, ou déterminer directement les images des éléments de $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Tu en déduit, pour tout polynôme $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

c'est-à-dire, en remarquant que $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

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invitea2257016 · 09/04/2012, 12h06

Envoyé par 369

bonjour,

j'aurai une question sur l'adjoint:
E=R₂[X]
B={1,X,X²}

j'ai trouvé une base orthormée à B
C={e'1=e1,e'2=e2-e1,e'3=(e3/2)-e2+(e1)/2} avec e1=1, e2=X et e3=X²

Dites moi si je me trompe, mais il me semble que $\text{[math]}$ n'est pas une base orthonormée, mais que c'est $\text{[math]}$ qui est une base orthonormée en ayant utilisé Gram Schmidt.

Ce qui donne pour $\text{[math]}$ et comme l'on sait que dans une Base Orthonormée un adjoint vérifie : $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ alors ton adjoint a pour matrice représentative dans la Base Orthonormée $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Dans la base orthonormée on a donc: $\text{[math]}$

Voila. Dites moi s'il y a une erreur.

invite371ae0af · 09/04/2012, 12h39

en faites faror je n'ai mis qu'une partie de l'énoncé. donc tu ne peux trouvé la base orthonormée à B puisque tu ne possèdes pas la définition du produit scalaire utilisé dans l'exo. Grâce à ca j'ai pu déterminer une base orthonormée à B qui est C

invitea2257016 · 09/04/2012, 12h59

Ah ouai autant pour moi

. J'avais eu un exercice similaire et j'étais resté sur mon produit scalaire.

invite57a1e779 · 09/04/2012, 13h38

Envoyé par 369

je n'ai mis qu'une partie de l'énoncé ... tu ne possèdes pas la définition du produit scalaire utilisé dans l'exo.

Ce qui est dommage, car on aurait pu envisager de revenir à la définition de l'adjoint : $\text{[math]}$ , et d'obtenir l'expression de $\text{[math]}$ par un calcul de produits scalaires :

$\text{[math]}$

invitea2257016 · 09/04/2012, 13h57

Envoyé par God's Breath

Ce qui est dommage, car on aurait pu envisager de revenir à la définition de l'adjoint : $\text{[math]}$ , et d'obtenir l'expression de $\text{[math]}$ par un calcul de produits scalaires :

$\text{[math]}$

Cette méthode est beaucoup plus longue, pénible et surtout dans $\text{[math]}$ et il est plus facile de faire des erreurs de calcul surtout si ton produit scalaire est défini par une intégrale...

invite57a1e779 · 09/04/2012, 14h00

Envoyé par Faror

Cette méthode est beaucoup plus longue, pénible

Je vois mal comment décider de la difficulté de la méthode sans connaître le produit scalaire utilisé...

invite371ae0af · 09/04/2012, 14h12

voici le produit scalaire:
E=R₂[X]
$\text{[math]}$

invite57a1e779 · 09/04/2012, 14h29

Je note $\text{[math]}$ , alors,

d'une part : $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ , d'où : $\text{[math]}$ ,

d'autre part : $\text{[math]}$ .

Si l'on peut déterminer $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , la relation de définition de l'adjoint sera bien satisfaite.

On traduit les deux premières conditions par : 1 est racine double de $\text{[math]}$ , ou encore : $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ .

Mais $\text{[math]}$ est de degré au plus 2, donc : $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est un polynôme constant, assimilé à un nombre réel, et par suite : $\text{[math]}$ .

La relation $\text{[math]}$ est satisfaite, pour tout couple $\text{[math]}$ , par : $\text{[math]}$ , donc :

$\text{[math]}$ .

Ce n'est pas le résultat précédent parce qu'il y avait une erreur dans la matrice $\text{[math]}$ .

En effet, $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ , et le seul coefficient non nul de $\text{[math]}$ est 1, et non pas 2, d'où l'erreur d'un facteur $\text{[math]}$ dans le calcul de $\text{[math]}$ via la matrice.

invite371ae0af · 09/04/2012, 14h40

pourtant j'ai fais:
u(P)=P"

P"=2a=2ae'3 d'où un 2 dans la matrice

invite57a1e779 · 09/04/2012, 14h51

Envoyé par 369

2a=2ae'3

Il faudrait e'3=1...

invite371ae0af · 09/04/2012, 14h57

en faite j'ai e'1=e1=1
donc P"=2ae'1

invite57a1e779 · 09/04/2012, 15h07

Je ne sais pas qui est a, donc ta réponse est incompréhensible, mais :

$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

donc la matrice de $\text{[math]}$ dans la base $\text{[math]}$ est :

$\text{[math]}$

invite371ae0af · 09/04/2012, 17h20

j'ai pris P=aX²+bX+c

comme u(P)=P"
on a u(P)=2a

invite57a1e779 · 09/04/2012, 17h28

Envoyé par 369

j'ai pris P=aX²+bX+c

Dans ce cas, tu travailles avec les coordonnées dans la base B=(e1,e2,e3), pas dans la base C=(e'1,e'2,e'3).

invite371ae0af · 09/04/2012, 17h33

ah oui c'est vrai je suis dans C

dans ce cas l'expression d'un polynôme P dans C est:
P=ae'1+be'2+ce'3

puis je dérive P deux fois pour avoir u(P)
u(P)=c et on trouve bien la matrice avec un 1 sur la première ligne

merci pour ton aide

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