adjoint

**369** · 07/04/2012, 18h59

bonjour,

j'aurai une question sur l'adjoint:
E=R₂[X]
B={1,X,X²}

j'ai trouvé une base orthormée à B
C={e'1=e1,e'2=e2-e1,e'3=(e3/2)-e2+(e1)/2} avec e1=1, e2=X et e3=X²

soit u l'endomorphisme de E tel que u(P)=P". Déterminer l'adjoint u* de u.

j'ai pris A=mat $\text{[math]}$ u et A*=mat $\text{[math]}$ u*

comme C est orthonormée on $\text{[math]}$
Je pose P=ax²+bx+c donc P"=2a
donc A=
2 0 0
0 0 0
0 0 0

et donc A*=A donc u est auto-adjoint

mais je ne pense pas que ce soit ca car la matrice que j'ai pour A est trop simple. Ou est je fais la faute?

merci de votre aide

**God's Breath** · 07/04/2012, 22h18

Bonjour,

Je pense qu'il y a une erreur dans ta matrice dont les colonnes donnent, dans cet ordre :

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , d'où :

$\text{[math]}$

**369** · 08/04/2012, 10h47

oui c'est exact, tu as raison la matrice est bien celle -là
mais dans ce cas c'est quoi u*?
je suis donc obligé de chercher la matrice de passage de B à C pour déterminer une expression de u*?

**God's Breath** · 09/04/2012, 09h33

Bonjour,

L'adjoint $\text{[math]}$ est l'endomorphisme dont la matrice dans la base $\text{[math]}$ est :

$\text{[math]}$ [/QUOTE]

ce qui suffit à le définir par l'image d'une base :

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Si tu préfères définir $\text{[math]}$ dans la base $\text{[math]}$ , tu peux déterminer la matrice de changement de base, ou déterminer directement les images des éléments de $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Tu en déduit, pour tout polynôme $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

c'est-à-dire, en remarquant que $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Faror** · 09/04/2012, 11h06

Envoyé par 369

bonjour,

j'aurai une question sur l'adjoint:
E=R₂[X]
B={1,X,X²}

j'ai trouvé une base orthormée à B
C={e'1=e1,e'2=e2-e1,e'3=(e3/2)-e2+(e1)/2} avec e1=1, e2=X et e3=X²

Dites moi si je me trompe, mais il me semble que $\text{[math]}$ n'est pas une base orthonormée, mais que c'est $\text{[math]}$ qui est une base orthonormée en ayant utilisé Gram Schmidt.

Ce qui donne pour $\text{[math]}$ et comme l'on sait que dans une Base Orthonormée un adjoint vérifie : $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ alors ton adjoint a pour matrice représentative dans la Base Orthonormée $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Dans la base orthonormée on a donc: $\text{[math]}$

Voila. Dites moi s'il y a une erreur.

**369** · 09/04/2012, 11h39

en faites faror je n'ai mis qu'une partie de l'énoncé. donc tu ne peux trouvé la base orthonormée à B puisque tu ne possèdes pas la définition du produit scalaire utilisé dans l'exo. Grâce à ca j'ai pu déterminer une base orthonormée à B qui est C

**Faror** · 09/04/2012, 11h59

Ah ouai autant pour moi

. J'avais eu un exercice similaire et j'étais resté sur mon produit scalaire.

**God's Breath** · 09/04/2012, 12h38

Envoyé par 369

je n'ai mis qu'une partie de l'énoncé ... tu ne possèdes pas la définition du produit scalaire utilisé dans l'exo.

Ce qui est dommage, car on aurait pu envisager de revenir à la définition de l'adjoint : $\text{[math]}$ , et d'obtenir l'expression de $\text{[math]}$ par un calcul de produits scalaires :

$\text{[math]}$

**Faror** · 09/04/2012, 12h57

Envoyé par God's Breath

Ce qui est dommage, car on aurait pu envisager de revenir à la définition de l'adjoint : $\text{[math]}$ , et d'obtenir l'expression de $\text{[math]}$ par un calcul de produits scalaires :

$\text{[math]}$

Cette méthode est beaucoup plus longue, pénible et surtout dans $\text{[math]}$ et il est plus facile de faire des erreurs de calcul surtout si ton produit scalaire est défini par une intégrale...

**God's Breath** · 09/04/2012, 13h00

Envoyé par Faror

Cette méthode est beaucoup plus longue, pénible

Je vois mal comment décider de la difficulté de la méthode sans connaître le produit scalaire utilisé...

**369** · 09/04/2012, 13h12

voici le produit scalaire:
E=R₂[X]
$\text{[math]}$

**God's Breath** · 09/04/2012, 13h29

Je note $\text{[math]}$ , alors,

d'une part : $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ , d'où : $\text{[math]}$ ,

d'autre part : $\text{[math]}$ .

Si l'on peut déterminer $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , la relation de définition de l'adjoint sera bien satisfaite.

On traduit les deux premières conditions par : 1 est racine double de $\text{[math]}$ , ou encore : $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ .

Mais $\text{[math]}$ est de degré au plus 2, donc : $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est un polynôme constant, assimilé à un nombre réel, et par suite : $\text{[math]}$ .

La relation $\text{[math]}$ est satisfaite, pour tout couple $\text{[math]}$ , par : $\text{[math]}$ , donc :

$\text{[math]}$ .

Ce n'est pas le résultat précédent parce qu'il y avait une erreur dans la matrice $\text{[math]}$ .

En effet, $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ , et le seul coefficient non nul de $\text{[math]}$ est 1, et non pas 2, d'où l'erreur d'un facteur $\text{[math]}$ dans le calcul de $\text{[math]}$ via la matrice.

**369** · 09/04/2012, 13h40

pourtant j'ai fais:
u(P)=P"

P"=2a=2ae'3 d'où un 2 dans la matrice

**God's Breath** · 09/04/2012, 13h51

Envoyé par 369

2a=2ae'3

Il faudrait e'3=1...

**369** · 09/04/2012, 13h57

en faite j'ai e'1=e1=1
donc P"=2ae'1

**God's Breath** · 09/04/2012, 14h07

Je ne sais pas qui est a, donc ta réponse est incompréhensible, mais :

$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

donc la matrice de $\text{[math]}$ dans la base $\text{[math]}$ est :

$\text{[math]}$

**369** · 09/04/2012, 16h20

j'ai pris P=aX²+bX+c

comme u(P)=P"
on a u(P)=2a

**God's Breath** · 09/04/2012, 16h28

Envoyé par 369

j'ai pris P=aX²+bX+c

Dans ce cas, tu travailles avec les coordonnées dans la base B=(e1,e2,e3), pas dans la base C=(e'1,e'2,e'3).

**369** · 09/04/2012, 16h33

ah oui c'est vrai je suis dans C

dans ce cas l'expression d'un polynôme P dans C est:
P=ae'1+be'2+ce'3

puis je dérive P deux fois pour avoir u(P)
u(P)=c et on trouve bien la matrice avec un 1 sur la première ligne

merci pour ton aide

adjoint

adjoint

Re : adjoint

Re : adjoint

Re : adjoint

Re : adjoint

Re : adjoint

Re : adjoint

Re : adjoint

Re : adjoint

Re : adjoint

Re : adjoint

Re : adjoint

Re : adjoint

Re : adjoint

Re : adjoint

Re : adjoint

Re : adjoint

Re : adjoint

Re : adjoint

Discussions similaires

adjoint

adjoint d'une symétrie

Adjoint d'un endomorphisme

adjoint d'endomorphisme

Tenseur adjoint