adjoint d'une symétrie

[invite20890e0d]

salut à tous
à tous je bloque sur l'exercice suivant :
Soit E un espace euclidien et F et G deux sous espaces supplémentaires de E soit s la symétrie par rapport à F parallèlement a G déterminer s* ou s* est l'adjoint de s

pour l'instant j'ai dit s²=i_d donc s²*=i_d donc s* est une symetrie il faut donc déterminer ker(s*-i_d) et ker(s*-i_d) pour cela je remarque que ker(s*-i_d)= de même pour ker(s*+i_d)= mais après je voudrais relier ces espaces a F et G mais je n'y arrive pas je n'ai pas encore utiliser le fait que ces espaces sont supplémenntaires je verrais bien un petit théorème du rang mais après je ne sais pas quel égalité montrer ni comment le faire
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[invite9617f995]

Bonjour,

Écris la matrice de s dans une base adaptée à la somme directe F+G. Tu trouveras alors facilement les matrices de s+Id et s-Id, qui te donneront leurs images respectives.

Bonne chance,
Silk

[invite20890e0d]

merci pour ta réponse j'ai ainsi trouvé Im(s+id)=ker(s-id)

[invite20890e0d]

je viens de le vérifier par un calcul direct c'est bien ce qu'il fallait trouver merci encore pour ta réponse

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