Bonjour,
J'ai un petit problème pour faire un exercice. On me demande de déterminer la matrice d'une symétrie par rapport à une droite engendrée par (1,2,-1) parallèlement au plan d'équation x+3y-z=0
Je demande pas la résolution de cette question, mais si quelqu'un pouvait me donner une méthode infaillible pour ce genre de question, ça serait vraiment top. J'arrive pas à visualiser comment je dois commencer cet exo....
Merci d'avance.
tu vois quelle tête ont les matrices d'une rotation, symétrie, rotation + symetrie par rapport a un axe ?
elles sont assez typées...
On n'a pas encore vu les matrices de rotations etc...
Mais pour celle d'une symétrie c'est (je crois)
Ide 0
0 -Ide
c'est ça ?
Bonjour,
je dirais plutôt "symétrie par rapport au plan d'équation x+3y-z=0 parallèlement à la droite engendrée par (1,2,-1)". Ou alors j'ai raté un épisode dans mes cours de géométrie.
Ce qu'il faut pour déterminer une matrice, c'est trouver l'image d'une base par cette matrice.
Ici ta matrice représente un endomorphisme de. Tu choisis donc une base de
Ca c'est la méthode qui marche à tous les coups mais c'est sans doute plus long que de déterminer les caractéristiques de ta transformation et d'en déduire la matrice associée à l'aide de ton cours...
Le seul problème c'est que cette transformation je la détermine comment à partir des données de l'exo ....
Il faut essentiellement avoir une description claire de cette transformation (je supposerai que l'énoncé est juste, une symétrie par rapport à une droite parallèlement à un plan qui ne la contient pas ça existe).
Soit u un vecteur de coordonnées (x,y,z) u s'écrit de manière unique u=d+p (un espace vectoriel de dimension 1 et un de dimension 2 ne contenant pas le 1er sont nécessairement en somme directe dans un espace de dimension 3) où d est dans la droite engendré par le vecteur v de coordonnées (1;2;-1) et p est dans le plan P d'équation x+3y-z.
L'image de u par la symétrie est s(u)=d-p.
Il suffit donc de déterminer d et p (i.e. calculer leurs coordonnées en fonction de x, y et z)
Une manière d'aller un peu vite est de remarquer que comme d=kv+p et que p est racine de l'équation f(p)=x+3y-z=0 (cette équation définit f). Donc f(d)=f(kv+p)=kf(v), d'où un calcul aisé de k et donc de d, puis de v, et finalement de s(u).
Si c'est une symétrie par rapport au plan parallèlement à la droite, le raisonnement et le calcul sont à très peu de choses près les mêmes.
J'aimerais bien savoir ce que c'est que cette symétrie par rapport à une droite parallèlement à un plan.
Un cas simple pour tenter de te convaincre : si la droite et le plan sont orthogonaux, c'est une rotation autour d'un axe d'angleEnvoyé par Ganash
Dans le cas général, c'est la transformation associée à la matrice :
dans une base (v, w, w') où v est un vecteur de la droite et (w,w') est une base du plan.
J'ui désolée, je vous remercie pour les explications, mais j'ai l'impression d'être encore plus perdue...
Je suis vraiment en train de désespérée avec ces matrices et pourtant je trouvais ça marrant ..
Tentons d'éclaircir en donnant les étapes (et en illustrant avec un exemple, on reviendra ensuite sur ton exercice) :
0) on repère les vecteurs dont on connait les images
1) on décompose un vecteur quelconque de coordonnées (x,y,...) en une somme (avec des coefficients dépendant de x, y, ...) des vecteurs précédents
2) on calcule les coordonnées de l'image (en utilisant la linéarité : l'image d'une combinaison linéaire au+bv+... est au'+bv' où u', v' ... sont les images de u, v...)
3) il n'y a plus qu'à écrire la matrice.
Exemple (en 2x2) :
soit dans le plan la transformation qui est telle que le vecteur u de coordonnées (2,1) est envoyé sur 2u et le vecteur v de coordonnées (1,1) est envoyé sur 3v.
0) Ici, les vecteurs dont on connaît les images sont les k.u et k.v (on utilisera u et v)
1) Après un calcul on trouve qu'un vecteur w de coordonnées (x,y) est égal à w=(x-y)u+(-x+2y)v
2) donc son image est égal à 2(x-y)u+3(-x+2y)v de coordonnées égales à :
2(x-y)(2,1)+3(-x+2y)(1,1)=(4(x-y)+3(-x+2y) ; 2(x-y)+3(-x+2y))=(x+2y ; -x+4y)
3) La matrice est donc :
Pour ton exercice
0) on connaît l'image des vecteurs portés par la droite sus-nommée (c'est eux mêmes) et l'image des vecteurs du plan sus-nommé (c'est leur opposé)
1) On cherche à exprimer un vecteur u de coordonnées (x,y,z) comme somme des précédents c'est à dire u=d+p (d sur la droite donc de la forme kv et p dans le plan). Des indications ont été données pour calculer assez facilement k (et donc d)
Celui de p est très difficile : p=u-d=u-k.v
2) On connaît l'image de kv (=kv) et celle de p (=-p) donc on peut calculer les coordonnées de l'image de u.
3) Il ne reste plus qu'à écrire la matrice.
Il existe d'autres méthodes (le point 0 de la méthode précédente peut difficilement être évité)
1) celle donnée par Ganash (avantage : "on se débarrasse" des x,y,z / défaut : on fait 3 fois quasiment la même chose)
2) par changement de base (défaut : tendance à être très calculatoire/avantage : pratique si l'inversion de la matrice de passage est aisée, pratique également si on manipule plusieurs transformations ou objets en même temps->informatique)
J'ai très bien compris les explications !
Mais (y'a toujours un mais dans ces histoires ^^) je crois que je vais finir par être folle à force de faire de matrice à longueur de journée ^^
Comment tu as trouvé : " w=(x-y)u+(-x+2y)v "
J'ai l'impression de passé à côté du truc le plus évident qui existemais pourtant je coince sur ce truc...
Qu'importe (j'ai posé w=au+bv cela m'a donné un système duquel j'ai calculé a et b en fonction de x et de y), pour l'explication il suffit que tu vérifies que c'est vrai :
(x-y)u+(-x+2y) a pour coordonnées (x-y)(2;1)+(-x+2y)(1;1)=(2(x-y)+(-x+2y);(x-y)+(-x+2y))=(2x-2y-x+2y;x-y-x+2y)=(x;y) donc (x-y)u+(-x+2y)v est bien égal à w.
et surtout que tu comprennes que puisque u et v engendrent R² on peut le faire et qu'une fois ceci fait on peut alors calculer les coordonnées de l'image d'un vecteur quelconque.
Merci beaucoup !
