Bonsoir,
C'est une question mathématiques mais c'est physiquement que les bra-ket ont été implantés alors...je poste ici.
J'ai du mal à comprendre à quoi correspond le fait d'écrire tout seul :
Et donc du coup je ne vois pas comment démontrer qu'on a l'égalité suivante :
Démonstration de la relation : (AB)*=B*A* ( désolé je note * au lieu de +) :
soit le ket |phi>=AB|psi> ( |phi> est l'image de |psi> par l'opérateur AB).
on peut encore écrire : |phi>=A|khi> avec |khi>=B|psi>.
Alors :
<phi|=<psi|(AB)* par définition de (AB)*.
=<khi|A* par définition de A*.
=<phi|B*A* car <khi|=<psi|B*.
On en déduit (AB)=B*A*.
Mathématiquement l'ajoint A* d'un opérateur A résulte de la construction de l'espace des états en tant qu'espace Hermitien ( dans lequel s'il est de dimention fini tous les opérateurs sont diagonalisables)
Physiquement on voit qu'un tel espace donne acces directement aux valeurs propres puisqu'on peut diagonaliser.
Que faire pour un espace de dimention infinie ?
On crée la notion d'observables , opérateur qui est diagonalisable dans un tel espace et qui correspond physiquement aux grandeurs physiques mesurées.
Merci pour ta réponse très complète.
En prenant toujours + pour les op adjoints et * pour le conjugué complexe d'un coef.
Pour
=>
Bref cette notation étant toute nouvelle doit y avoir des trucs qui m'échappent ou que j'emploie mal.
Si tu veux aller plus loin, lit " Mécanique Quantique " ( ouvrage écrit par Claude Cohen Tannouji, en deux tomes).
C'est un ouvrage de référence pour l'apprentissage et l'approfondissement de la phiQ.
Ah oui, et pourquoi ce bouquin est-il plus approprie a cette discussion ? Pourquoi pas le "les fondements mathematiques de la mecanique quantique" de von Neumann par exemple ?Envoyé par Shouker
Je ne vois pas bien ce que tu veux dire par
=>
?
Ce que
Si l'on acceptait la definition (saugrenue !) du nombre
alors effectivement, on aurait
d'ou
Les bra kets sont sesquilinéaire, plus spécifiquement anti-linéaire à gauche (donc le "bra").
D'où :
L'* marquant le conjugué complexe de A.
Sinon, dans
Pour le moment je suis surtout en phase de familiarisation avec tout ce formalisme du coup je peux écrire de grosses anneries (surtout que j'ai une base insuffisante pour maîtriser le formalisme mathématiques des bra ket de façon correct...mais j'y suis obligé donc bon).
Shouker : J'ai un cours de méca Q et notre professeur nous a déjà conseillé ce bouquin. Là je suis juste en train d'étudier les 2 premières pages doubles du cours et voilà le genre de questions que ça donne.
Les bra kets sont sesquilinéaire, plus spécifiquement anti-linéaire à gauche (donc le "bra").
D'où :
L'* marquant le conjugué complexe de A.
Bonjour,
Ceci est faux. Tu confonds le complexe conjugué d'un nombre avec l'opérateur adjoint d'un opérateur. Ici A est un opérateur.
Tout ceci n'a rien à voir avec la MQ. Il s'agit tout simplement de l'algébre linéaire sur le corps des complexes. Ce qui est spécifique à la MQ est que les vecteurs ne sont pas dessinés avec des flèches mais avec des ket et des bras, mais cela n'est qu'une question de notation et n'apporte aucune nouveauté mathématique.
Un produit scalaire classique s'écrit v.w (avec des fleches) et devient
|v>.|w> = <v|w>
En composantes c'est le produit du vecteur ligne de |v> (chaque composante est le complexe conjugué) et du vecteur colonne de |w>
Quand on écrit:
A.|v> = b. |w>
A est un opérateur (representé par une matrice de nombre complexe).
|v> et |w> sont des vecteurs
b est un nombre complexe.
etc....
Pour résumer il faut d'abord apprendre l'algébre sur le corps des réels. une fois acquis de bons réflexes on passe à l'algébre sur le corps des complexes. La MQ travaille dans des espaces de Hilbert définis sur le corps des complexes).
C'est vrai mais mais attention, danger sinon on ne comprend pas l'algébre linéaire.Quand on écrit
Sinon, dans
En écrivant <mA|n> A opérateur agit à gauche sur <m| qui est un vecteur matrice ligne.
Pour le moment je suis surtout en phase de familiarisation avec tout ce formalisme du coup je peux écrire de grosses anneries (surtout que j'ai une base insuffisante pour maîtriser le formalisme mathématiques des bra ket de façon correct...mais j'y suis obligé donc bon).
Tout à fait, voir cours de maths d'algébre linéaire.
]
Ici A est un opérateur et b un nombre complexe ? Ca me semble être la même chose dans cet exemple pourtant...
A coté de ça, j'ai bien compris la signification des bra ket, il ne faut pas croire que je suis complètement perdu, parfois il suffit de quelques connaissances supplémentaires pour tout mettre en ordre.
Par contre je ne confonds pas opérateur adjoint et complexe conjugué, c'est juste que je n'arrive pas à définir A et ça m'ammène à ce genre d'erreurs.
Ici mon soucis se situe au niveau des opérateurs.
Quand tu applique une matrice sur un vecteur, tu obtiens encore un vecteur : c'est pour ça que A appliquer à |u> donne un vecteur |w> (avec une constante b, si on veut |w> normaliser). Si jamais A|u>=a|u> alors |u> est un vecteur propre de A.
Les operateurs sont justes le nom des matrices en MQ. Et prendre son hermitique conjugué, ça signifie juste transposer et prendre le complexe conjugué (entraine toi sur une matrice 2x2 et tu generalises aux cas plus grand directement).
Voyons si A était un nombre complexe
A.|v> = b. |w>
Cela signifierair l'égalité de 2 vecteurs colinéaires.
J'ai écrit A et non a et ce pour de bonnes raisons.
A est un opérateur (pense à mettre un chapeau).
quand A agit sur |v> il effectue une rotation de |v> dont le résultat est b.|w>
A coté de ça, j'ai bien compris la signification des bra ket, il ne faut pas croire que je suis complètement perdu, parfois il suffit de quelques connaissances supplémentaires pour tout mettre en ordre.
Par contre je ne confonds pas opérateur adjoint et complexe conjugué, c'est juste que je n'arrive pas à définir A et ça m'ammène à ce genre d'erreurs.
Je ne suis pas du tout convaincu que tu comprennes les notations car dans ce cas tu aurais résolu toi même le problème trivial que tu as posé.
Je te conseille donc pour comprendre de prendre l'habitude comme tout mathématicien de travailler d'abord en composantes et de t'entrainer, comme le dis justement Twarn, dans des espaces vectoriels de dimension 2. Dans cet espace tout opérateur dans une base déterminée est representé par des matrices 2*2.
Ah dsl je ne savais pas que tu faisais une différence entre majuscules et minuscules.
Enfin bref, merci pour vos réponses, ça m'a considérablement éclairé.
Enfin pour te donner un "tuyau" sur la façon de démontrer ta relation il faut que tu réflechisses au deux notations suivantes.
1- <m|n>
2 - |n><m|
Qu'en-penses-tu?
Et bien j'en pense que le premier est un scalaire et le deuxième un opérateur. (matrice ligne/colonne donne un scalaire, matrice colonne/ligne donne une matrice)
OK
Donc tu sais que Somme sur des n de |n><n| represente l'opérateur identité (relation de fermeture). Donc en MQ à chaque que tu vois un produit d'opérateurs A.B pense a insérer l'opèrateur identité entre les 2 opérateurs et tu verras qu'il y a une suite logique dans le calcul.
Ok ok, je vois le truc, merci
