saut à l'elastique

[invite7712617a]

Bonjour à toutes et à tous,

Pourriez-vous m'indiquer si ce que j'ai fait pour l'exercice suivant est correct notamment la fin, vu que j'obtiens une expression très compliquée..
Un homme de masse m=80km est assimilé à un point matériel dans tout le problème. Il effectue un saut à l'élastique du haut d'un pont à une hauteur h au dessus d'une rivière. Il utilise un élastique de longueur l0=25m. Tant que l'élastique n'est pas tendu il n'exerce aucune force sur le sauteur.Dès qu'il a été tendu il se comporte comme un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k=120 N.m-1. On prend l'origine des altitudes au niveau du pont et l'accélération de la pesanteur g=10 m.s-²

1/Saut sans élan en l'absence de frottement
Dans un premier temps il se laisse tomber dans le vide à vitesse initiale nulle.
a/Calculer la durée T de cette première phase de mouvement
=>T = rac(2lo/g)

b/Etablir l'expression de la vitesse atteinte à la fin de cette phase
=>v=rac (2glo)

c/Quelle est la nature du mouvement après cette phase de chute libre ?
=>mouvement sinusoidal periodique non amorti

d/Etablir l'expression de l'altitude du sauteur en fonction du temps pour la seconde phase du mouvement
=> Dans ce cas je pars de l'équation différentielle
d²z/dt² +k/m*z=g+klo/m établie d'après le PFD et je cherche z sous la forme A cos (wot+phi) en posant wo=rac (k/m)
après quelques calculs j'obtiens:

A= rac((mg/k)²+2mglo/k)
et phi= (Arctan rac(2klo/mg))-rac ((2lok)/mg)

e/Quelle doit être la valeur minimale de h pour que le sauteur ne soit pas mouillé :
J'ai effectué l'application numérique en partant de ce que j'ai trouvé précedemment et j'obtiens hmin=19.4 m

Il me reste ensuite les questions suivantes:
f/Le sauteur risque t il de heurter le pont
g/Etablir l'acceleration maximale atteinte au cours de la chute ..mais je ne les ai pas encore cherchées.

Est ce que mon raisonnement est correct pour le moment?

Merci
-----

[invite7712617a]

J'ai tapé un peu trop vite excusez moi !!

Je cherche Z sous la forme A cos(wot+phi)+mg/k+l0

[calculair]

Je pense que tu as bien raisonné.

Pour la question C, je dirais que le sauteur commence à tendre l'elastique avec une certaine energie ( cinetique) l'elastique va le freiner.
-md²h/dt² = mg - K( h - l°) ( le domaine de validité de cette equation est pour
h < h°- l° avec h° hauteur du pont et h > 0 ( si non ton sauteur est mort ! )

Donc si h reste positif, le mouvement sera freiné selon l'equation ci dessus.

Ensuite le ressort qui a aborbé l'energie potentielle du sauteur

mgh° = 1/2 k ( h min - l°)² va la restituer en propulsant le sauteur vers le haut

Il va remonter selon l'equation decrite jusqu'a ce l'elastique soit detendu,
puis il continuera a remonter selon
-m d²h/dt² = mg ( attention aux conditions initiales)

Il y a donc un risque pour que le sauteur touche le bas du tablier du pont, surtout si celui-ci a une epâisseur non nulle et que sa chute demarre audessus de ce tablier !!!!

Voila le piège est que tu commences à trendre l'elastique avec une vitesse initiale non nulle.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Sauteriez-vous d'une hauteur de 19,4 m avec un élastique qui fait 25 m?
Non je ne le pense pas.
En fait je trouve une hauteur minimum de 51 m.
Votre raisonnement est correct.
Mais je n'ai pas vérifié la valeur de phi.
Quelle est la valeur de l'amplitude que vous trouvez?
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7712617a]

Je trouve en effet A=51,1m..J'ai ensuite essayé de poursuivre le problème en utilisant le théoréme de l'énergie cinétique à partir du moment où le sauteur repasse à l'altitude z=l0 et jusqu'à l'altitude minimum qu'il peut atteindre.
Comme durant cette phase il n'est plus soumis qu'à son poids j'ai d'abord calculé v1 en z=l0 soit v1=-Aw0sin (arccos (-mg/kA)) et en application numérique v1= -22.3m.s-1
Ensuite j'obtiens: zmin=lO-v1²/2g soit zmin=0.22m=>le sauteur ne s'écrase pas sur le pont...

[calculair]

Je trouve en effet A=51,1m..J'ai ensuite essayé de poursuivre le problème en utilisant le théoréme de l'énergie cinétique à partir du moment où le sauteur repasse à l'altitude z=l0 et jusqu'à l'altitude minimum qu'il peut atteindre.
Comme durant cette phase il n'est plus soumis qu'à son poids j'ai d'abord calculé v1 en z=l0 soit v1=-Aw0sin (arccos (-mg/kA)) et en application numérique v1= -22.3m.s-1
Ensuite j'obtiens: zmin=lO-v1²/2g soit zmin=0.22m=>le sauteur ne s'écrase pas sur le pont...

Bonjour,

je n'ai pas de papier pour refaire le calcul sous la main.

Dans le système, il n'y a rien de ddissipatif, l'energie potentielle initale se transforme en energie cinetique et en energie de tension du ressort.
Lorsque toute l'energie potentielle est consommée et que le sauteur ne touvhe pas le sol, la restitution de l'energie de tension du ressort devrait faire remonter le sauteur à sa hauteur initiale.
Si ce n'est pas le cas, ou l'energie c'est elle dissipée ???

[invite6dffde4c]

Re.
Nous sommes d'accord, sauf pour les arrondis.
Comme il n'y a pas des pertes ni frottements, le sauteur doit retourner de là où il était venu.
Donc les 22 cm, sont le résultat d'arrondis malheureux.
J'ai un conseil à vous donner: n'arrondissez jamais les calculs intermédiaires. Gardez-les dans votre calculette en entier (le calcul ne sera pas plus long). Arrondissez uniquement les résultats que vous écrivez sur le papier. Parfois cela peut donner des grosses différences.
A+

[calculair]

Re.
Nous sommes d'accord, sauf pour les arrondis.
Comme il n'y a pas des pertes ni frottements, le sauteur doit retourner de là où il était venu.
Donc les 22 cm, sont le résultat d'arrondis malheureux.
J'ai un conseil à vous donner: n'arrondissez jamais les calculs intermédiaires. Gardez-les dans votre calculette en entier (le calcul ne sera pas plus long). Arrondissez uniquement les résultats que vous écrivez sur le papier. Parfois cela peut donner des grosses différences.
A+

Bonjour,

Tu me rassures, le sauteur remonte bien à son altitude initiale,
Le mouvement du sauteur n'est pas "rigoureusement parlant " un mouvement sinusoidal comme il a eté ecrit a la question " C " même si dans une portion de la trajectoire le mouvement peut se confondre avec ce type de mouvement.

Enfin le port du casque est obligatoire dans ce genre d'exercice surtout si le tablier du pont est relativement epais.....

[invite6dffde4c]

Re.
C'est exact. C'est des morceaux de sinusoïde avec le haut des calottes d'en haut remplacées par des paraboles (sans cassure de pente). Dans ces paraboles le sauteur est en chute libre alors que dans les parties sinusoïdales il est toujours accéléré.
A+

[invite7712617a]

Merci pour ces réponses aussi rapides !!!
En fait cela n'était que la moitié de l'exercice, voici l'autre moitié (que je suis présentemment en train de chercher)
2/Saut sans élan avec frottement fluide
On suppose dans cette partie que le sauteur subit de lapart de l'air une force de frottement fluide proportionnelle à la vitesse. On note lambda le coefficient de proportionnalité.
a/Etablir l'équation de la vitesse lors de la première phase
=>dv/dt+lambda/m*v=g

b/Montrer l'existence d'une vitesse limite vl dont on donnera l'expression
=>La solution à l'équa diff prédécente est v(t) =mg/lambda*(1_exp(-lambda/m*t)), et lim v(t) pour t infini= mg/lambda

c/Sachant que vl=4.7m.s-1 en deduire la valeur du coefficient lambda
=>lambda=170.2 kg.s-1

d/Déterminer l'expression de l'altitude lors de cette phase.
=>Z(t)=mg/lambda*t+m²g/lambda²*exp(-lambda/m*t)

e/En supposant que la vitesse limite est atteinte à la fin de cette phase, déterminer sa durée T
=>La je comprends pas trop....à priori j'écrirais v(T)=vl d'où T=-m/lambda*ln(1-lambda*vl/mg)..

f/L'hypothése selon laquelle la vitesse est atteinte est elle justifiée?
=>aucune idée là....
g/Quelle est la nature du mouvement lors de la seconde phase ?
=>Mouvement amorti

h/Etablir l'expression de l'altitude en fonction du temps au cours de cette seconde phase.
=>d²z/dt²+lambda/m*dz/dt+k/m*z=g+klo/m

i/Le pont doit il etre sur elevé ou peut il etre à plus basse altitude sans que le sauteur ne se mouille?
=>pas encore traitée

j/Le sauteur risque t il de heurter le pont ?
=>pas encore traitée.

Merci de vos commentaires...

[invite7712617a]

Je me réponds tout seul mais les questions e/ et f/ me chagrinent, en y réfléchissant un peu, je me demande si il faut considérer que vitesse limite atteinte signifie que la valeur de la vitesse vaut 0.99*vitesse limite???
Dans ce cas j'obtiendrais T=2m/lambda*ln10 d'où avec les valeurs : t=2.2s
Or, en remplaçant dans l'expression de z, t par cette valeur on obtient z=38.4m=>l'hypothése n'est pas valable car on serait déjà dans la seconde phase.....Bref je m'embrouille la on dirait....

[calculair]

bonjour,

Je reconnais que la formulation de l'ennoncé n'est pas claire,

En supposant que la vitesse limite soit atteinte à la fin de cette phase ( c'est quoi cette phase ?) determinér sa durée ???

Pour moi c'est pas clair....

Ma question serait il faut combien de temps et combien de metres pour atteindre 90 % de cette vitesse limite ( 10% c'est une erreur acceptable ,tu mesures 100m à 10 m prés) ou mieus tu trace les courbes V en fonction de t et de la hauteur de chute, elles sont assymptotique à Vl.


Peut être on y verra plus clair......... en tous les cas on pourra justifier une reponse pour f et commencer une reponse pour g ( il faudra voir a quelle hauteur le sauteur remonte et si l'elasstique se detend totalement pour connaitre son mouvement qui cette fois est amorti par la resistance de l'air

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Pour moi, la première phase est celle de chute libre, avant que l'élastique commence à exercer une force. C'est à dire les premiers 25 m de chute dans ce cas.
La vitesse limite est la vitesse atteinte en chute libre (entre 200 et 400 km/h pour un homme, je crois). La valeur numérique de la vitesse limite donnée ici est ridiculement faible: 17 km/h. Cela correspond à une chute d'une hauteur de ... 80 cm!
On pourrait presque sauter sans élastique de n'importe quelle hauteur sans danger.
Donc, avec une telle viscosité de l'air on bien admettre qu'après 25 m de chute on ait atteint la vitesse limite.
Et je pense que les oscillations vont être très, très amorties.
Au revoir.

[calculair]

bonjour,

Effectivement ,la vitesse limite imposée par l'énoncé est très faible, ( il s'agit peut être d'un saut d'entrainemenent pour pararachutiste avec le parachute ouvert ) ......

Si tu supprimes le point entre le 4 et le 7 on aurait une vitesse limite de 165 km/h ce qui serait faible mais plus raisonnable.

Je ne penses pas que Yvesbelleville doit remettre en cause l'enoncé, mais il peut faire sans doute quelques commentaires montrant qu'il ne perd pas le sens des realités dans les formules et les reflexions sur ce pb interessant.

Tu as surement un avis de professionnel sur cela ?

[invite7712617a]

J'ai réfléchi pas mal de temps à cette phrase et j'ai pens à faire quelque chose qui me semblerait "plus" dans l'esprit de l'énoncé, pourriez vous me dire ce que vous en pensez??

On suppose que la vitesse limite est atteinte lorsque z=lO(à la fin de la chute libre), ce qui voudrait dire que je considére que le terme en exponentielle de la vitesse est nul d'où en reprenant l'expression de z j'ai z(T)=mg/lambda*T d'où T=lo*lambda/(mg) et en application numérique T=5,32 s

Je calcule ensuite la valeur exacte de z pour cette valeur trouvée de T et en prenant en compte le terme en exponentielle et je compare avec lo.
Dans ce cas comme j'obtiens z(approximatif) quasiment égal à lo j'en conclus que l'approximation est correcte...

[calculair]

bonjour,

Effectivement tu as parfaitement raison.

LPFR nous a fait remarquer que la vitesse limite proposée ici est très faible et rpresente une chute de 0,8 m( je n'ai pas verifié, mais il a raison à 99,9999%, on lui laisse une marge d'erreur humaine ....!)

Donc la vitesse limite est donc atteinte en fin de chute libre, ou tu prends comme vitesse limite la vitesse atteinte en fin de chute libre...alors il y aurait une contradiction avec les 4,7 m/s de l'enoncé ( si j'ai bien compris )

[invite6dffde4c]

LPFR nous a fait remarquer que la vitesse limite proposée ici est très faible et rpresente une chute de 0,8 m( je n'ai pas verifié, mais il a raison à 99,9999%, on lui laisse une marge d'erreur humaine ....!)

Re.
C'est très gentil, mais vous avez bien fait de me laisser 0,0001% de chances de me tromper: je viens de l'utiliser! Je recalcule la hauteur et cette fois je trouve 1,1 m. Ce qui ne change pas grand chose sur le fond.

Bon, je pense que la personne qui a rédigé le problème c'est simplement planté. Ça arrive dans les meilleures familles. Mais il faut garder l'énoncé tel quel. En indiquant par une phrase que la valeur vous surprend: "Je trouve cette valeur très petite".

De même, quand vous trouvez une valeur trop grande ou trop petite, une bonne assurance tout risque est d'écrire une phrase du genre: "Je trouve cette valeur trop grande (petite). Il doit y avoir une erreur, mais je ne la trouve pas.".
Si votre calcul est bon, rien ne se passera. Et s'il est effectivement mauvais, le correcteur se dira "Bon, au moins il s'est aperçu que la valeur était absurde" et sera plus indulgent.
A+

[invite7712617a]

à propos du coefficient lambda, ici j'obtiens en tenant compte de la valeur de l'énoncé lambda=170.2 kg.s-1, mais quelle est "traditionnellement" la valeur de ce coefficient pour l'air ?

[invite7712617a]

J'obtiens également une durée de première phase de T=5.3s en supposant que la vitesse limite est atteinte en z=lo.....

[invite6dffde4c]

J'obtiens également une durée de première phase de T=5.3s en supposant que la vitesse limite est atteinte en z=lo.....

Re.
La constante de temps pour la première phase est de 0,47 s. Si je calcule le temps pour parcourir les 25 mètres je trouve 5,8 secondes (aux erreurs de calcul près). La vitesse limite (qui n'est jamais atteinte) est "presque atteinte" en 2 ou 3 secondes et bien avant lo.
Votre résultat de 5,3 s est le temps que la victime mettrait si elle tombait à vitesse constante égale à la vitesse limite. Comme cette vitesse met en certain temps le temps de la première phase est certainement plus grand.
A+

[calculair]

bonjour,

J'ai fait une petite recherche sur Google, la vitesse limite de chute pour un parachutiste, parachute fermé, est voisine de 55m/s cela fait presque 200 km/h

[invite6dffde4c]

bonjour,

J'ai fait une petite recherche sur Google, la vitesse limite de chute pour un parachutiste, parachute fermé, est voisine de 55m/s cela fait presque 200 km/h

Re.
Oui, c'est ça que j'avais en tête. 200 km/h pour une chute à plat avec les vêtements "vaporeux", et 400 km/h en chute avec le corps vertical (pour rattraper les petits copains qui ont sauté avant).
A+

[invite7712617a]

Je poursuis la résolution du problème par les trois dernières questions suivantes :
h/Etablir l'expression de l'altitude en fonction du temps au cours de la seconde phase (élastique tendu)
l'équation différentielle est d²z/dt²+lambda/m*dz/dt+k/m*z=g+klo/m
soit encore d²z/dt²+g/vl*dz/dt+k/m*z=g+klo/m

En remplaçant k,m,g et vl par leurs valeurs j'obtiens que le discriminant de l'équation caractéristque est négative (environ -1.47)
je pose w=rac(4k/m-(g/vl)²)
on a donc z(t)=Aexp(-g/2vl*t)*cos(wt+phi)+mg/k+lo avec A et phi deux constantes à déterminer

Le problème est que pour les déterminer si je me sers des conditions à t=T à savoir z=lo et dz/dt=vl je vais m'embarquer dans des calculs sans fin, y a t il une astuce ???

[calculair]

bonjour,

J'avoue que je n'ai pas la patience de LPFR qui a consciensieusement verifié tous vos calculs, vous devriez le remercier....

Si je me permet, et en admettant que l'hypothèse de la vitesse limite est satisfaisante,vous admettez que l'elastique se commence à ce tendre quand la vitesse est Vl
alors dz/dt = Vl pour t = 0 en prenant l'origine des temps au moment ou l'elastique se tend tu alors determiner A facilement , c'est aussi le moment ou Vz est max et donc phi = 0, puisque le mouvement est freiné par la resistance de l'air.

Qu'en penses tu

[invite7712617a]

En effet, vraiment merci beaucoup pour toutes vos réponses !!J'ai même un peu l'impression d'abuser avec mes questions et cet exercice tellement il me semble interminable...Il faut dire que j'ai l'intention de reprendre mes études en physique et que même du temps de ma fac lointaine j'en avais jamais vu des pareils lol!

Sinon pour la détermination de A et de phi, même en changeant l'origine des temps je vois pas trop, j'obtiens le systéme :
A cos phi=-mg/k
-g/2vl*Acos phi-Awsin phi =vl
de là je peux en tirer tan phi mais cela n'est pas un terme nul

Pour les question i et j je dirais que le pont peut être à plus basse altitude que lors de la première partie sans frottement car le mouvement est freiné par la résistance de l'air...De même le sauteur lors de sa remontée ne touchera pas le pont.....

[calculair]

bonjour,

En rprenant votre exopression:z(t)=Aexp(-g/2vl*t)*cos(wt+phi)+mg/k+lo

je pose -g/2vl = b

Z(t) = A exp bt cos (wt + phi) + mg/k + l°

dz/dt = Ab exp bt cos (wt + phi ) - A exp bt W sin(wt + phi )

Pour t = 0 dz/dt = Vl

dz/dt pour t =0 = Ab cos (phi) cette valeur est max pour phi = 0

et Ab = Vl


et cela suivant mon raisonnement quand on commence à tendre l'elastique
Vz et max et = à Vl

Ai je fais une erreur ?

[calculair]

Oui par ailleurs, le freinage de l'air permet de mettre le pont plus bas et la dissipation de l'energie provoquée par la resitance de l'air fait qh'il est impossible de remonter a l'altitude de depart.

[invite7712617a]

Je dois être fatigué ce soir (trop de physique sans doute lol) mais je ne comprends pas pourquoi vous écrivez :
dz/dt pour t =0 = Ab cos (phi) , n'est ce pas plutôt Ab cos ( phi ) - A W sin(phi ) ?

[calculair]

Je dois être fatigué ce soir (trop de physique sans doute lol) mais je ne comprends pas pourquoi vous écrivez :
dz/dt pour t =0 = Ab cos (phi) , n'est ce pas plutôt Ab cos ( phi ) - A W sin(phi ) ?

oui vous avez raison, je suis allé un peu vite
mille excuses

[calculair]

Alors en reprenant le raisonnement

poiur t = 0 dz/dt max

derivons dz/dt /à phi on a -Absin phi -AW cos phi doit être nul

b sin phi = -w cos phi ==> Tg phi = -W/b

j'espère m'être bien tire d'affaire.......