Adjoint et Produit scalaire hermitien

[invite09e593f7]

Bonjour à tous je suis sur un exo qui me donne du fil à retordre voici l'énoncé

E hermitien.
1/ Montrer qu'à un endomorphisme quelconque u de E on peut associer un unique endomorphisme u* de E vérifiant : .

2/ Montrer que si E' est un sous espace vectoriel de E stable par u alors son orthogonal est stable par u*

3/ On suppose que

a) Montrer que u et u* admettent un vecteur propre commun
b) Montrer que u et u* sont simultanément diagonalisable


Alors les 2 premières questions c'est bon, mais c'est pour la troisième que je bloque, j'ai essayé plein de trucs mais rien de concluant, comme essayer des produits scalaires sur u et u*. Comme on travaille sur , je suppose qu'on ne peut pas utiliser le cours sur les espaces euclidiens. Donc je pense qu'il n'y a pas énormément de méthodes. Mais je n'arrive pas au résultat.

Une lumière pour m'aider? ^^
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[invite57a1e779]

Commence par montrer que admet une valeur propre, puis que l'espace propre associé est stable par , enfin que cet espace propre contient un vecteur propre de .

[invite09e593f7]

Commence par montrer que admet une valeur propre, puis que l'espace propre associé est stable par , enfin que cet espace propre contient un vecteur propre de .

Euh je vois comment c'est possible que le sous espace associé à cette valeur propre soit sable par u* puisque la question 2 montre que son orthogonal est stable par u*.

[invite57a1e779]

Le fait qu'un sous-espace soit stable, et le fait que son orthogonal soit stable sont indépendants.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite09e593f7]

oué je viens de m'en rendre compte, toujours est-il que je n'arrive pas démontrer que le sous espace est stable par u*, il me faudrait je pense arriver à mais je n'y arrive pas...

[invite7ffe9b6a]

soit une valeur propre de u.
x un vecteur propre associé.
il faut montrer que

moi j'utiliserais le fait que

en evaluant cela en x

[invite09e593f7]

MMh, j'avoue que j'obtient un truc sympathique, du genre .

Ce qui nous donne que u*(x) est dans car il est alors vecteur propre de u.....

HAAAAAAAAAAAAA c'était pourtant simple!!!!!

[invite09e593f7]

Bon ben maintenant je n'arrive pas à conclure quand à l'existence d'un vecteur propre dans . Enfin je vois pas commen le justifier puisque on peur écrire , Mais comment avoir a valeur propre de u*.

Quand à la question b, je pensais dire que l'on pouvait compléter les bases de diagonalisation de manière à ce que ce soit les mêmes (car on a un vecteur propre commun). Mais là encore je ne suis pas sur de mon raisonnement.

[invite57a1e779]

Tu travailles avec des espaces vectoriels sur le corps qui est algébriquement clos : tout endomorphisme admet une valeur propre, puisque son polynôme caractéristique est scindé.

[invite09e593f7]

Ok pour ça. Donc si je reprend, on a montré qu'il existait un vecteur propre commun à u et à u*, or on a raisonner à partir d'une valeur propre quelconque de u, donc tout vecteur propre de u est vecteur propre de u*. On a la réciproque avec le même raisonnement. On a donc l'égalité des sous espaces propres. Donc si u et u* sont diagonalisables alors elles ont même matrice de passage.

Bon si c'est bon il ne me reste plus qu'à montrer que ces deux endomorphismes sont diagonalisables... Et là encore je bloque...

[invitec317278e]

Je ne sais rien sur les espaces hermitiens, mais ne peut-on pas procéder par récurrence en construisant une suite de de sous espaces-propres, en prenant pour premier espace propre celui correspondant à la valeur propre commune, puis, cet espace étant stable par u et par u*, son orthogonal l'est aussi, et on définit alors l'endomorphisme induit sur cet orthogonal, et on montre que lui aussi admet une valeur propre commune avec son endomorphisme adjoint, etc...?

[invite09e593f7]

Alors je pensais à un truc comme ça mais pour montrer que les sous espaces propres sont en sommes directe et que leurs somme fait E, car . Je sais pas si c'est à ça que tu pensais.