Topologie des variétés algbriques

[invitea41c27c1]

Bonjour,

Je suis en train de lire une partie du Livre "Basic algebraic geometry" de I.R. Shafarevich. La partie en question est le chapitre 7 concernant la topologie d'une variété algébrique.

Le point que je ne comprends pas est la définition suivante :
Pour une variété algébrique affine sur on note l'ensemble des points fermés.

Mais pour moi tous les points sont fermé donc !?!?!? Alors je pige pas ...
La topologie utilisée sur n'est pas précisée clairement, mais je crois que c'est la topologie de Zarisky dont il est question (on parle aussi de la topologie euclidienne mais même avec cette topologie tous les points sont fermés)

Alors s'il y a un expert dans ce domaine (je sais que ce n'est pas à la porté de tout le monde ...) qui pourrait m'aider, j'en lui serais reconnaissant.

Merci.
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[invite4793db90]

Salut,

en géométrie algébrique, la topologie ne ressemble guère à celle usuelle : il s'agit, comme tu le sais, de la topologie de Zariski qui, déjà, n'est pas séparée (dans un premier temps, tu peux imaginer un ouvert de Zariski comme le complémentaire d'une partie finie).

Cette topologie autorise dans certains cas l'existence de points ouverts, voire de points denses dans l'espace considéré. L'archétype de ce genre de situation s'incarne dans le spectre d'un anneau muni de sa topologie de Zariski : il est à la théorie des shémas ce que la boule ouverte est à la géométrie usuelle.

Cordialement.

PS : des refs : en français, le livre de Perrin Introduction à la géométrie algébrique ; en anglais, The red book of varieties and schemes de Mumford.

[invite4ef352d8]

Salut !


pour faire simple, disont que X est une equation en deux variables, par exemple X=x²+y²-1.

la variété X(C) désigne alors vraisemblablement, l'ensemble des ideaux de l'anneau C[x,y]/(x²+y²-1). munie de la topologie dite de Zariski.

les point fermé pour cette topologie, sont exactement les ideaux maximaux, et on sait (par le théorème des zéros de Hilbert) que les ideaux maximaux de cette anneau sont de la forme (x-a,y-b) avec a et b telle que a²+b²-1=0. bref ca s'identifie canoniquement avec ce à quoi tu t'attend : les point complexe de la courbe x²+y²=1.
mais si on ne se restraint pas au point fermé, il y aura des idéaux premier non maximaux, qui correspondrait à des point non fermé dont l'adhérence est une sous variété algébrique de x^2+y^2-1...


Finalement pour faire simple, ce qu'il considère c'est l'ensemble des points complexe de la courbe X, munie de la tpologie dont les fermé sont donné par des equation algébrique (un fermé de X(C) est l'ensemble des 0 d'un polynome en x,y...)

[invitea41c27c1]

Ok merci,j'ai mieux compris.
En fait la partie que je suis en train de lire montre que si est une variété algébrique irréductible, alors (munie d'une topologie que je ne vais pas décrire) est connexe.
Et dans le cas où est une variété affine de , n'est autre que le lieu des zéros d'un idéal premier munie de la topologie euclidienne induite.
Une dernière chose que j'ai à vous demander, auriez-vous des références concernant ce théorème.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]