Topologie : distances avec des sup et des inf

[invitedbe5e39e]

Bonjour,

J'ai un espace métrique (E,d) et F l'ensemble des fermés bornés non vides de E.
Pour A et B dans F on pose

d'(A,B)=sup d(x,B) (x appartenant à A)
et
d''(A,B)=sup(d'(A,B),d'(B,A))

Je dois justifier l'existence et montrer que
d'(A,B)=0 si et seulement si
A est contenue dans B et pour tout (A,B,C) appartenant à F^3, d'(A,C) <= d'(A,B) + d'(B,C)


Pour l'existence je pense avoir réussi à faire ce qu'il fallait, seulement pour l'équivalence... je suis un peu perdu avec tous ces sup !
D'autant plus que sup d(x,B) (x appartenant àA) = sup (inf d(x,y)) (x appartenant à A et y à B) alors avec les sup d'inf... c'est dur !!

Merci d'avance pour votre aide
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[invited749d0b6]

Bonjour,

Si d'(A,B)=0, si A n'est pas inclus dans B, il existe x appartenant à A tel que x n'appartient pas àB. Comme B est un fermé il existe une boule ouvert B(x,h) h>0 tel que B(x,h) ne rencontre pas B, donc d(x,B)>=h donc d'(A,B)>=h>0. Contradiction. Donc A inclus dans B.

Soit C un fermé borné, soit x appartenant à A inclus dans B.
Montrons d(x,C)<=d(x,B)+d'(B,C)
Soit y appartenant à B, z appartenant à C.
d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)
Il existe une suite z_n de points de C telle que d(y,z_n) tend vers d(y,C). De plus d(x,z_n)>=d(x,C) donc
d(x,C)<=d(x,y)+d(y,C)
Il existe une suite y_n de points de B telle que d(x,y_n) tende vers d(x,B). De plus d(y_n,C)<=d'(B,C).
Donc d(x,C)<=d(x,B)+d'(B,C).
Ensuite il existe une suite x_n de points de A telle que d(x_n,C) tende vers d'(A,C). De plus d(x_n,B)<=d'(A,B). Donc
d'(A,C)<=d'(A,B)+d'(B,C)

[invitedbe5e39e]

Merci bcp pour cette réponse !! Je vais étudier ça de plus près

[invited749d0b6]

Soit C un fermé borné, soit x appartenant à A inclus dans B.
Montrons d(x,C)<=d(x,B)+d'(B,C)
...

En fait, il n'y a pas besoin de supposer A inclus dans B pour montrer l'inégalité.

[A voir en vidéo sur Futura]