Equadiff aux dérivées partielles du 2ème ordre

[invite9e0be6e7]

Bonjour, j'ai un problème pour résoudre l'équadiff suivante :


pour résoudre ça, je cherche les changements de variables pour mettre l'équadiff sous forme canonique, j'utilise la courbe caractéristique pour trouver ça:



on trouve les changements de variables suivants :


maintenant que j'ai les changements de variables, je recalcule les dérivées :
(j'prends comme notation : )









quand on remet ça dans la équadiff on obtient :


et ça je ne sais pas résoudre, mon prof m'a dit qu'on devait trouver juste qui s'intègre facilement, mais j'obtiens pas ça, je sais pas ou est mon erreur :s

si quelqu'un pouvait m'aider j'lui en serais très reconnaissant
merci bien.
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[invite63e767fa]

Bonjour,

A première vue, je doute un peu que cette méthode soit la plus simple pour arriver à la solution qui est compliquée (page jointe).

[invite9e0be6e7]

ah oui en effet la solution est pas aussi simple que ça...
quelle méthode me permettrait de résoudre ce genre d'équadiff?

merci.

[invite63e767fa]

En cherchant des solutions particulières de la forme u(x,y) =f(x)*g(y)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9e0be6e7]

je remonte le topic parce que j'ai trouvé la solution du prof, mais ça correspond pas à ce qu'il y a en pièce jointe.

avec mes changements de variables :



je dis que :

est équivalent à :

je calcule donc les parenthèses avec mon changement de variable :








d’où l'équadiff de départ devient :

dont la solution est :




d'ailleurs quand je dérive deux fois par rapport à y j'ai une dérivée première et une dérivée seconde de f et g, et donc ça ne fonctionne pas dans l'équadiff.

j'aimerai donc savoir ou j'ai fais une erreur? c'est la manière d'écrire l'équadiff sous forme de produit d'opérateurs différentiels qui est fausse?

[invite63e767fa]

Attention, ce qui est vrai en calcul algébrique n'est pas toujours vrai en calcul formel.
Certes, en calcul algébrique (a²-b²) = (a+b)(a-b)
Mais si a et b ne sont pas des nombres, mais sont des opérateurs de dérivation, il n'y a plus d'égalité !
On s'en apperçoit en détaillant les opérations de dérivations secondes (page jointe)

[invite63e767fa]

La page jointe a été effacée par ne fausse manoeuvre au cours d'une correction.
La voici jointe à nouveau :

[invite9e0be6e7]

ah bah oui bien sur...merci beaucoup j'avais même pas pensé à développer tout le calcul j'm'en serai rendu compte sinon...mon prof a surement du faire la même erreur dans sa résolution.
bon bah j'vais essayer par séparation des variables