Equation aux dérivées partielles

invitec13ffb79 · 01/03/2008, 15h21

Bonjour,

J'ai l'équation différentielle suivante:

$\text{[math]}$

Je ne vois pas bien comment procéder à sa résolution, c'est-à-dire trouver l'expression de $\text{[math]}$ ... Pourriez-vous me le montrer en détaillant un peu svp?

Merci d'avance.

**Garf** · 01/03/2008, 15h40

En intégrant selon v : h(u,v)=K sqrt(v), K dépendant de u. En effet, on peut fixer u, et on retombe alors sur une EDO.
Donc il existe une application f telle que $\text{[math]}$ .

**God's Breath** · 01/03/2008, 15h41

Envoyé par dj_titeuf

Bonjour,

J'ai l'équation différentielle suivante:

$\text{[math]}$

Je ne vois pas bien comment procéder à sa résolution, c'est-à-dire trouver l'expression de $\text{[math]}$ ... Pourriez-vous me le montrer en détaillant un peu svp?

Merci d'avance.

A $\text{[math]}$ fixé, l'application partielle $\text{[math]}$ est solution de l'équation différentielle ordinaire $\text{[math]}$ dont les solutions sont de la forme $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ est une constante.
Les applications partielles $\text{[math]}$ sont donc toutes de la forme $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ est une constante différente pour chaque valeur de $\text{[math]}$ , c'est-à-dire les valeurs d'une fonction $\text{[math]}$ .

Finalement les solutions de l'équation aux dérivées partielles sont de la forme $\text{[math]}$ , avec des conditions de régularité sur $\text{[math]}$ à déterminer en fonction des conditions sur $\text{[math]}$ .

invitec13ffb79 · 01/03/2008, 15h57

Bonjour, merci de vos réponses.

Cependant, je ne comprends pas tout. Pourquoi peut-on se permettre de "fixer $\text{[math]}$ " (message de God's Breath) par exemple? $\text{[math]}$ est une fonction de deux variables, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ !

D'autre part, pourquoi la fonction $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ (selon vos messages) dépend de $\text{[math]}$ ?

En espérant que vous pourrez m'éclairer, merci à vous deux!

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**God's Breath** · 01/03/2008, 17h52

Envoyé par dj_titeuf

Bonjour, merci de vos réponses.

Cependant, je ne comprends pas tout. Pourquoi peut-on se permettre de "fixer $\text{[math]}$ " (message de God's Breath) par exemple? $\text{[math]}$ est une fonction de deux variables, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ !

D'autre part, pourquoi la fonction $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ (selon vos messages) dépend de $\text{[math]}$ ?

En espérant que vous pourrez m'éclairer, merci à vous deux!

Comme je me suis trompé en recopiant l'équation différentielle, mes résultats explicites ne correspondaient pas à l'exercie posé, mais le principe reste.

Dire que $\text{[math]}$ est solution de l'équation $\text{[math]}$ , c'est dire que l'égalité vaut pour tout $\text{[math]}$ , et l'on peut donc la particulariser pour une valeur fixée de $\text{[math]}$ .

Pour $\text{[math]}$ , on a, pour tout $\text{[math]}$ , l'égalité $\text{[math]}$ ; autrement dit, en notant $\text{[math]}$ l'application $\text{[math]}$ , on a, pour tout $\text{[math]}$ , l'égalité $\text{[math]}$ , et la résolution de l'équation différentielle conduit à l'existence d'une constante $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ .

De même, pour $\text{[math]}$ , on a, pour tout $\text{[math]}$ , l'égalité $\text{[math]}$ ; autrement dit, en notant $\text{[math]}$ l'application $\text{[math]}$ , on a, pour tout $\text{[math]}$ , l'égalité $\text{[math]}$ , et la résolution de l'équation différentielle conduit à l'existence d'une constante $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ , la constante n'ayant aucune raison d'être égale à la constante $\text{[math]}$ .

On a ainsi, pour tout $\text{[math]}$ , à l'existence d'une constante $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ .
Puisque cette constante $\text{[math]}$ dépend de $\text{[math]}$ , c'est la valeur $\text{[math]}$ d'une fonction $\text{[math]}$ indéterminée, mais qui permet d'écrire $\text{[math]}$ sous la forme $\text{[math]}$ .

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