Egalité de Legendre

[invite705d0470]

Bonjour, je cherche à montrer l'égalité de Legendre: pour p premier,.

Intuitivement, c'est assez clair: on compte les multiple de p, puis de , ... et on rajoute successivement puisqu'avec ce système de comptage on ne comptabilise au fur et à mesure que les exposants non comptés (on ne fait donc aucune redondance).
Mais comment le prouver "rigoureusement" ?

J'ai une idée, mais j'aimerais savoir ce que vous en pensez: qui dit exposant (valuation de p) dit compter, et alors on pense (assez) naturellement aux applications et au principe des Bergers, non ?
Dans l'esprit, je considère l'application de comptage suivante:
où:
est l'ensemble des puissances de p inférieures à n!
est l'ensemble des multiples inférieurs à n! de la puissance i de p, de cardinal
X est l'ensemble des parties précédentes.
Cette application est clairement surjective.
Par le principe des Bergers, on obtient alors que .

Or, X a pour cardinal la valuation recherchée (mais sur ce point, je n'arrive pas à mieux justifier que précédemment, c'est à dire sans évoquer cette construction intuitive).

Auriez vous des idées ou des remarques ?

Merci d'avance,

Snowey
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[Seirios]

Bonjour,

Je n'ai pas encore lu ce que tu as écrit, mais tu peux aller voir cette ancienne discussion : http://forums.futura-sciences.com/ma...thmetique.html

[invite705d0470]

... En effet, ce n'est pas trivial
Merci beaucoup, je vais pouvoir étudier en détail cette récurrence.
Du coup je ne sais même pas s'il faut lire ce que j'ai écrit, ça me semble vraiment simpliste et peu rigoureux !