Equivalence = ssi ?

[invitea4ccb16e]

Bonjour,

J'aimerais, s'il vous plait, que vous m'éclairiez sur un point, en ce qui concerne la matière "logique" (qu'on m'enseigne personnellement à la fac). En effet, A<-->B ssi A-->B et B-->A. Autrement dit, A est équivalent à B si et seulement si A implique B et B implique A.

Dans mon cours, on m'indique que "équivalent à" (signe <-->) peut se lire "si et seulement si"... Je ne comprends pas ! Pourtant A ssi B ça veut juste dire que A ne peut exister que lorsque B est vrai, pas que B ne peut exister que lorsque A est vrai ! Ce que je ne comprends pas, c'est que, par exemple, dans la vie de tous les jours... Soit A = "je conduis", et B = "j'ai le permis". On peut dire que A ssi B : je conduis si et seulement si j'ai le permis. Pourtant il n'y a pas équivalence ! Il n'y a pas A <--> B : si je ne peux conduire qu'en ayant le permis, en revanche le fait d'avoir le permis ne m'oblige pas à conduire ! A ne peut exister avec B, mais B peut exister sans A !

C'est ça que je ne comprends pas... Pourquoi y a-t-il équivalence (c'est le cas de le dire) entre l'équivalence et ssi en maths ? Quelqu'un pourrait-il m'éclairer sur ce sujet ?

En vous remerciant.
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[Médiat]

Bonjour

Soit A = "je conduis", et B = "j'ai le permis". On peut dire que A ssi B : je conduis si et seulement si j'ai le permis. Pourtant il n'y a pas équivalence ! Il n'y a pas A <--> B : si je ne peux conduire qu'en ayant le permis, en revanche le fait d'avoir le permis ne m'oblige pas à conduire ! A ne peut exister avec B, mais B peut exister sans A !

Lorsque vous écrivez que "je conduis si et seulement si j'ai le permis" est valide, c'est en comprenant "je conduis" comme "je peux légalement conduire".

Lorsque vous écrivez "le fait d'avoir le permis ne m'oblige pas à conduire", c'est en comprenant "conduire" comme "conduire maintenant".

Autrement dit vous interprétez A de deux façons différentes selon la phrase, il est donc normal d'avoir des résultats différents.

Si vous ré-écrivez A = "Je peux légalement conduire" alors A ssi B sans ambiguité, et A <--> B sans ambiguité.

[gg0]

Bonjour Zar2.

Tu devrais te décider à décoder "si et seulement si" en termes de français. Que veut dire "si" ? Que veut dire "seulement si" ?

Cordialement.

[shokin]

Dans (A => B), A est une condition suffisante, B est une condition nécessaire.
Dans (B => A), la réciproque, A est une condition nécessaire, A est une condition suffisante.
Dans (A <=> B), A et B sont toutes deux, à la fois condition suffisante et condition nécessaire.

Quelle différence entre les deux phrases suivantes ?

- Alex peut ouvrir la porte A s'il a la clé A,
- Alex peut ouvrir la porte A seulement s'il a la clé A.

Ou encore :

- Je te laisse utiliser l'ordinateur si tu laves la vaisselle,
- Je te laisse utiliser l'ordinateur seulement si tu laves la vaisselle.

Ou encore :

- Tu dois payer cent euros si tu achètes cette étagère,
- Tu dois payer cent euros seulement si tu achètes cette étagère.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

- Je te laisse utiliser l'ordinateur si tu laves la vaisselle,
- Je te laisse utiliser l'ordinateur seulement si tu laves la vaisselle.

Et pour apprendre la logique à mon fils je lui ai dit :

Si tu ne ranges pas ta chambre, tu ne pourras pas jouer avec l'ordinateur !

Bien évidemment, après qu'il eut rangé sa chambre, je ne l'ai pas autorisé à jouer avec l'ordinateur, et depuis il a compris ce qu'est l'implication (et que son père est un rien vicieux )

[invitea4ccb16e]

Ah oui d'accord... Pour être honnête j'ai du mal à bien saisir, à bien penser de cette manière naturellement, mais bon je vais essayer de retourner la question dans tous les sens et de travailler ça ! Je vous remercie

médiat : tu m'as tué là ! pauvre gosse, victime d'un mathématicien sadique !
Mais à force il ne voudra plus ranger sa chambre, il sentira le piège venir !

[invitea4ccb16e]

désolé, envoyé sans faire exprés... Je reprends :

PS : C'est bon en effet ! Je viens de comprendre pourquoi dans "A ssi B", A ne peut exister sans B (évidement) mais surtout, B ne peut exister sans A. C'est ça qui me posait problème au début ! C'est parce que B est l'UNIQUE condition pour que A existe, donc, si, quand B existe, A pouvait exister comme ne pouvait pas exister, ça voudrait dire qu'il y aurait une autre condition (appelons la C) qui différencierait le cas ou B existe sans A, et existe avec A, et que donc, A existerait à condition que B soit vrai, ET que C soit vrai / faux, et que donc, B ne serait pas la seule condition pour que A existe, ce ne serait donc pas un si et seulement si mais juste un si...

Par exemple pour le permis, si ce que j'ai dit est faux, c'est parce que le fait d'avoir le permis n'est pas la seule condition qui détermine si on est en train de conduire ou pas : on conduit aussi si on est dans la voiture / si on en a envie / besoin etc, donc c'est pas un ssi mais juste un si...

C'est bien ça la raison donc ?

[shokin]

Voilà !

avec "OU" et "ET", on peut plus facilement comprendre.

Que penses-tu des relations entre les phrases suivantes ?

- Je peux enfoncer un clou si j'ai un marteau ou si j'ai un caillou.
- Je peux enfoncer un clou si et seulement si j'ai un marteau.
- Je peux enfoncer un clou si j'ai un marteau.
- Je ne peux pas enfoncer de clou si je n'ai pas de marteau.
- J'ai un marteau si je peux enfoncer un clou.
- J'ai un marteau si et seulemet si je peux enfoncer un clou.

[invitea4ccb16e]

Ah oui d'accord ! Et là on voit en plus une autre chose que j'avais vu en cours mais avais du mal à concrétiser : la différence entre les relations logiques valides et les phrases qui sont vraies dans la vie de tous les jours. Par exemple, la phrase 6 "J'ai un marteau si et seulemet si je peux enfoncer un clou." n'est pas vraie dans la vie de tous les jours (je peux avoir un marteau mais ne pas avoir de clou et donc ne pas pouvoir enfoncer de clou), mais d'un point de vue purement logique, la phrase 2 "Je peux enfoncer un clou si et seulement si j'ai un marteau." implique la phrase 6... Sauf que si la phrase 6 est fausse dans la vie de tous les jours, c'est parce que la 2 l'est aussi (le fait d'avoir un marteau n'est pas la seule condition pour pouvoir enfoncer un clou, il faut aussi avoir un clou sous la main etc) donc d'un point de vue purement logique, la 2 entraine la 6, parce que si l'une des deux était vraie ça voudrait dire que l'autre aussi... Ok je commence à comprendre ! (enfin si je me suis pas trompé) Je te remercie, ça me fais de l'exercice toutes ces petites phrases

[shokin]

Oui, la réalité ainsi que les a priori peuvent parfois nous "induire" en erreur.

Avec des mots sans sens, nous pouvons aussi faire de la logique :

- Je peux xerdumer un zytuxo si j'ai un galidin ou un tipoxun.
- Je peux xerdumer un zytuxo si et seulement j'ai un galidin.
- Les Linlins mentent toujours et les Tutis mentent du lundi au jeudi.



Si tu aimes la logique, je te conseille de lire Raymon Smullyan : "Quel est le titre de ce livre ?"

Pour les plus "tordus", il a aussi écrit : "Le livre qui rend fou."

[invitea4ccb16e]

J'adore la logique ! C'est ma matière préférée à la fac (tout le monde me prend pour un fou les gens détestent tous je comprend pas...)

Et bien je vais me renseigner, ça pourrait être intéressant en effet si c'est pas trop cher j'achète

D'ailleurs, à y réfléchir, un métier qui se rapprocherait le plus possible de ce qu'on fait en logique m'intéresserait beaucoup... Après tout, c'est le seul domaine dans lequel j'aime le travail en soit et non juste la finalité (en astrophysique par exemple j'adore tous les questionnements relatifs, mais je hais les calculs de trajectoires d'accélération de densité etc)... T'en connaitrait pas un toi par hasard, de métier qui soit orienté vraiment logique ? En effet, chercheur en maths par exemple, c'est quelque chose de large, par vraiment ciblé uniquement sur l'esprit de la logique... Par exemple, chercheur / ingénieur en intelligence artificielle, tu penses que ça pourrait être orienté plutôt dans l'esprit de la logique ? (il me semble que c'est un peu la même chose : réussir à décortiquer le réel, à bien le définir, pour l'implémenter dans la machine) je me trompe ? Tu fais quoi toi par exemple ? (désolé pour toutes mes questions mais ma plus grande hantise est de me lancer dans des études et dans un métier, pour au final me rendre compte, une fois que c'est trop tard, que c'est pas ce que je voulais)

[Médiat]

En effet, chercheur en maths par exemple, c'est quelque chose de large, par vraiment ciblé uniquement sur l'esprit de la logique...

On peut faire de la recherche en logique mathématique .

[invitea4ccb16e]

médiat : C'est vrai, en effet, autant pour moi. Seulement je ne suis pas sur de me lancer dans la recherche, je voulais savoir aussi pour ce qui est du "hors recherche" si je puis dire, les domaines qui utilisent beaucoup la logique... Mais bon, je me renseignerais je finirais bien par trouver ce qui me convient !

shokin : les deux livres : achetés !

[shokin]

shokin : les deux livres : achetés !

Coudonc ! quelle rapidité ! Bon courage ! surtout pour le deuxième ! (il y a de quoi devenir fou)