Que représente la matrice diagonalisée?

[invitea2257016]

Bonjour à tous,

Voila ma question est un peu compliquée, je ne sais pas si vous allez me comprendre mais je vais essayer de m'expliquer au mieux.
Alors la diagonalisation correspond à determiner les tel que d'après la définition:

Soit un -espace vectoriel et soit un endomorphisme de représenté par la matrice M.
, est une '''valeur propre''' de si et seulement si :
.

Je pense que cela signifie que l'on cherche tous les tel que pour tous les on détermine des tel que pour "chaque groupe" de x correspondant à une valeur propre (c'est à dire pour chaque x appartenant à un sous espace propre) on ait où est la valeur propre associée à l'espace propre.

Lors de la diagonalisation lorsqu'on a la matrice P on a normalement finit comme on connait les bases (par definition de la matrice P qui réunit les bases des sous espaces propres) des "groupes de x" tel qu'on ait pour chaque "groupe de x" où est la valeur propre associée à chaque groupe de x. D'ou ma question dans ce cas là à quoi sert la matrice ? Je pensais qu'elle représentait la même fonction que la matrice M mais dans une autre base tel qu'on ait mais j'ai l'impression que cela ne marche par car lorsque l'on fait le produit matricielle:
, on obient: et donc en multipliant ces coordonnées par la base on aura l'image de la fonction qui est égale à quelque chose comme ce qui ne correspond pas à . Je ne sais pas si vous voyez ce que je comprends pas, mais j'espere que vous pourrez m'aider.

Merci d'avance
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[gg0]

x est un vecteur, les x_i sont des composantes d'un vecteur. Quelles sont les composantes des vecteurs de la base ?

NB : Si tu fais un exemple, tu verras mieux.

[invitea2257016]

x est un vecteur, les x_i sont des composantes d'un vecteur. Quelles sont les composantes des vecteurs de la base ?

NB : Si tu fais un exemple, tu verras mieux.

Oui oui tout ça je l'ai bien compris quand même ^^. Ce que je ne comprends pas c'est ce que j'ai expliqué plus haut par rapport à D et ce qu'elle represente.

[gg0]

ben non, la fin de ton message le montre bien !

La matrice diagonale a bien les mêmes valeurs propres et les mêmes vecteurs propres que la matrice initiale. Tout simplement parce que c'est la matrice de u dans la base choisie. Mais tu ne peux l'utiliser qu'avec les objets corrects. Relis-toi : " en multipliant ces coordonnées par la base" !!!!

Mais dès le début tu ne comprends pas car tu notes x tous les vecteurs propres, alors que si u(x) = 2x et 3 est une autre valeur propre, ça n'a pas de sens d'écrire u(x)=3x puisque 3x n'est pas 2x.
Donc reprends la méthode du début, vois vraiment quel rapport il y a entre vecteur propre et valeur propre, ça éclaircira déjà tes idées.
Tu peux aussi laisser tomber "groupe de x" puisqu'il s'agit (en ajoutant 0) des sous-espaces propres.

Enfin, pour vérifier que ça marche bien tu choisira un vecteur propre, tu l'écrira dans la base qui a servi à la diagonalisation (c'est facile, c'est une base de vecteurs propres), puis tu appliqueras D et tu trouveras le bon résultat.

Cordialement.

NB : Il est possible que certaines de mes critiques soient non fondées, tes explications sont parfois difficiles à comprendre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea2257016]

D'accord, merci beaucoup je vais voir tout ça ^^.