Division par 0 !

[Amanuensis]

Aucune difficulté pour écrire ב

Au cas où vous n'auriez pas compris je précise que je parlais du LaTeX local, entre balises [ TEX ]. Connaîtriez-vous une autre possibilité que \beth pour obtenir le caractère en LaTeX ? Cela me serait utile.
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[Médiat]

Au cas où vous n'auriez pas compris, la phrase

Aucune difficulté pour écrire ב

Est de vous, en réponse à ma remarque :

le Latex de FS ne connaît pas \beth

[Amanuensis]

Bon, ça vient doucement est-ce une manière de caractériser l'approche d'un infini dans l'infini ?

Ce n'était pas nécessairement le but. Mais c'est certainement une manière de distinguer différentes "sortes" d'infinis. Et il se trouve que cela en amène une infinité.

À ce sujet, MissPacMan a parlé de "l'ensemble" des ordinaux, avec un "ahem" qui indiquait très indirectement que cette notion est impropre. Car le "nombre" d'ordinaux différents n'est pas défini, il serait "plus grand" que n'importe quel infini. C'est le paradoxe de Burali-Forti : les ordinaux ne forment pas un ensemble [car si c'était le cas, comme ce serait un ensemble bien ordonné, ce serait un ordinal ; et ce serait le plus grand de tous, ce qui n'a pas de sens puisqu'on peut alors en construire un plus grand], on ne peut pas parler de leur cardinal.

Donc non seulement on se retrouve avec une infinité d'infinis distinguables, mais ce faisant on introduit une "sorte" de "super-infini" "plus grand" que tout infini. Gloups ! (Les guillemets car toutes ces notions sont impropres, cas où le langage commun "dépasse" le langage des mathématiques, du moins tel qu'actuellement mis en œuvre.)

[Amanuensis]

(...)

Vous qui savez tout, vous pourriez savoir, et même l'indiquer, s'il y a autre chose que \beth, un truc numérique par exemple, permettant d'utiliser dans une formule LaTeX le caractère Unicode que vous avez rappelé. C'est cela l'information qui m'intéresse, voyez-vous.

[Médiat]

Vous qui n'ignorez rien, je vois que vous avez bien compris le sens de ma remarque citée plus haut, voyez-vous.

[karlp]

Vous êtes en train de dire que l'ensemble des suites d'entiers est de cardinal strictement inférieur à celui de l'ensemble des suites de 0 et de 1 .


Je vous mets la raison sous spoiler au cas où vous aimeriez chercher :

 Cliquez pour afficher

C'est l'ensemble des suites d'entiers à support fini (pour l'exponentiation ordinale) !

Bonjour à tous et merci à ceux qui m'ont permis de nettoyer les préjugés qui faisaient obstacle à ma compréhension.

Trés cher Médiat, serait-ce abuser de vous demander de nous éclairer sur ce qu'est une suite d'entiers à support fini ?
(je comprends bien la différence entre ordinal et cardinal et donc j'entraperçois la différence entre omega puissance omega et aleph o puissance aleph o, mais cette "aperception" reste extrêmement vague et confuse)

[Médiat]

Bonjour très cher karlp,

Votre question illustre parfaitement ma remarque à MissPacMan : "mais pour , c'est un peu plus compliqué à montrer" .

En fait une suite d'entiers (mais cela vaut pour les ordinaux) à support fini est une suite qui ne vaut autre chose que 0 que pour un nombre fini d'éléments. Une autre façon de le dire est une suite qui vaut 0 à partir d'un certain rang (c'est la façon usuelle de définir l'exponentiation ordinale qui est donc très différente de l'exponentiation cardinale).

[karlp]

Merci infiniment !

Je vais maintenant ravaler ma honte et vous faire un aveu : je ne comprends pas ce que veut dire "une suite qui vaut 0"

(je viens d'essayer de trouver une définition à l'aide de google, en vain; je ne voudrai pas vous faire perdre votre temps: si vous pensez que l'explication serait trop longue, je contraindrai avec plaisir un ami mathématicien que je dois retrouver lundi)

[Médiat]

Une suite d'entiers est une application de IN dans IN, donc à chaque entier (de 0 à ...), on fait correspondre un entier, a priori quelconque, mais ici on impose que l'entier (dans l'ensemble d'arrivée) ne soit différent de 0 que dans un nombre fini de cas.

Si je veux l'exprimer formellement :

PS :
| se lit "tel que"
!= se lit "différent de"

[Deedee81]

Salut,

Un exemple pour peut-être illustrer. La suite :
1 5 0 8 9 45 2 1 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 .... etc.... plus que des 0

[karlp]

Une suite d'entiers est une application de IN dans IN, donc à chaque entier (de 0 à ...), on fait correspondre un entier, a priori quelconque, mais ici on impose que l'entier (dans l'ensemble d'arrivée) ne soit différent de 0 que dans un nombre fini de cas.

Si je veux l'exprimer formellement :

PS :
| se lit "tel que"
!= se lit "différent de"

J'en ai, au moins, pour le reste de la journée pour assimiler

Merci

[gg0]

Dit très simplement (et valable dans de nombreux contextes) : Le support c'est là où c'est non nul.
Après, il y a des définitions précises dans chaque cas. Le support d'une suite u à valeurs numériques est l'ensemble des indices n pour lesquels u_n est non nul.
C'est très exactement ce qu'a écrit Médiat.

Cordialement.

[karlp]

Salut,

Un exemple pour peut-être illustrer. La suite :
1 5 0 8 9 45 2 1 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 .... etc.... plus que des 0

C'est parfait: votre exemple me permet de contrôler la justesse de ma lecture des énoncés, l'informel et le formalisé, que donne Médiat. Je vous en remercie.

(reste un long chemin avant de saisir la lumière que cela apporte dans la question des ordinaux et des cardinaux élevés à une puissance tranfinie )

[karlp]

Dit très simplement (et valable dans de nombreux contextes) : Le support c'est là où c'est non nul.
Après, il y a des définitions précises dans chaque cas. Le support d'une suite u à valeurs numériques est l'ensemble des indices n pour lesquels u_n est non nul.
C'est très exactement ce qu'a écrit Médiat.

Cordialement.

Est-ce que cela veut dire que, dans l'exemple donné par Deedee81, le support c'est 1589452113 , mais aux places précises où ils ont été situés dans la suite ?

[karlp]

Bonjour très cher karlp,

Votre question illustre parfaitement ma remarque à MissPacMan : "mais pour , c'est un peu plus compliqué à montrer" .

En fait une suite d'entiers (mais cela vaut pour les ordinaux) à support fini est une suite qui ne vaut autre chose que 0 que pour un nombre fini d'éléments. Une autre façon de le dire est une suite qui vaut 0 à partir d'un certain rang (c'est la façon usuelle de définir l'exponentiation ordinale qui est donc très différente de l'exponentiation cardinale).

C'est devenu parfaitement clair

Est-ce que la solution pour "omega puissance omega = omega" tient à ce que cet ordinal serait celui de l'ensemble des suites d'entiers à support fini ?

[gg0]

Karlp,

tu n'as pas lu ce que j'écrivais, ni compris médiat.

Le support d'une suite u à valeurs numériques est l'ensemble des indices n pour lesquels u_n est non nul.

Les valeurs effectives de la suite pour ces indices n'ont aucune utilité pour définir le support.

[Médiat]

C'est devenu parfaitement clair

Est-ce que la solution pour "omega puissance omega = omega" tient à ce que cet ordinal serait celui de l'ensemble des suites d'entiers à support fini ?

Très cher karlp, je dois vous avouer que je ne comprends pas parfaitement votre question .

Ce que je peux vous dire c'est que l'exponentiation ordinale repose toujours sur des suites à support fini (mais pas forcément indexées par )

[karlp]

Manifestement, je n'ai rien compris

Je vais reprendre tout ça.
Merci de votre patience.

[karlp]

Karlp,

tu n'as pas lu ce que j'écrivais, ni compris médiat.

Les valeurs effectives de la suite pour ces indices n'ont aucune utilité pour définir le support.

J'ai bel et bien lu, mais pas compris, en effet

Est-ce que votre définition peut s'illustrer d'après l'exemple de Deedee ?

[Médiat]

Si et sont des ordinaux, pour calculer , il faut considérer l'ensemble des applications de dans (que l'on peut aussi appeler les suites d'éléments de indexées par ), à support fini (avec la même définition que j'ai déjà donnée, et il n'y a pas de problème puisque ).

PS : je viens de définir l'ensemble sous-jacent à , pas le bon ordre qui en fait un ordinal.

Comme je le disais dans mon premier message : le cas est plus compliqué

[Médiat]

J'ai bel et bien lu, mais pas compris, en effet

Est-ce que votre définition peut s'illustrer d'après l'exemple de Deedee ?

Oui, le support dans l'exemple de Deedee est 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10

[karlp]

Oui, le support dans l'exemple de Deedee est 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10

Là je comprends je mon erreur, et du même coup la définition donnée par ggO

(je vais me pencher sur mes autres errances )
Merci!

[karlp]

Comme je le disais dans mon premier message : le cas est plus compliqué

J'ai peur d'user votre bonne volonté.

Je crois comprendre que le cardinal de tout ordinal est aleph 0 (c'est un souvenir de cours)

Je crois comprendre que aleph 0 puissance aleph 0 est strictement supérieur à aleph 0 (puisque c'est déjà le cas de 2 puissance aleph 0).

Je trouvais donc un peu étonnant (mais je sais que c'est un effet de l'indigence de mes connaissances mathématiques) que omega puissance omega n'ait pas pour cardinal alpeh 0 puissance aleph 0 (ce qui entrerait pourtant en contradiction avec ce qui précède) .

(pour vous rendre compte de ma confusion: j'avais cru comprendre de vos échanges précédents que le contenu caché sous spoiler permettait d'expliquer cela. J'en étais venu à croire que la condition du "support fini" jouait un rôle dans le fait que omega puissance omega ait pour cardinal aleph 0.)

Je vais modestement m'incliner devant les grandes finesses nécessaires pour la pratique de l'arithmétique des transfinis et me réjouir d'avoir déjà appris ce qu'est une suite d'entiers à support fini

[Médiat]

J'ai peur d'user votre bonne volonté.

Rassurez-vous, c'est toujours un plaisir.

Je crois comprendre que le cardinal de tout ordinal est aleph 0 (c'est un souvenir de cours)

Non, est le plus petit cardinal infini, c'est, par exemple, le cardinal de , mais aussi celui de .

Mais, et j'ai peur de générer encore un peu de confusion, et , par exemple sont des cardinaux plus grand que , ce sont donc des ordinaux (car un cardinal est un ordinal un peu particulier) dont le cardinal est eux-même (l'ordinal associé à est noté .

Je crois comprendre que aleph 0 puissance aleph 0 est strictement supérieur à aleph 0 (puisque c'est déjà le cas de 2 puissance aleph 0).

Oui.

Je trouvais donc un peu étonnant (mais je sais que c'est un effet de l'indigence de mes connaissances mathématiques) que omega puissance omega n'ait pas pour cardinal alpeh 0 puissance aleph 0 (ce qui entrerait pourtant en contradiction avec ce qui précède) .

Et pourtant : , car dans le calcul de (exponentiation ordinale), on ne considère que les suites à support fini, alors que dans on considère toutes des suites

(pour vous rendre compte de ma confusion: j'avais cru comprendre de vos échanges précédents que le contenu caché sous spoiler permettait d'expliquer cela. J'en étais venu à croire que la condition du "support fini" jouait un rôle dans le fait que omega puissance omega ait pour cardinal aleph 0.)

C'est bien le cas

[karlp]

Bonjour très cher Médiat

Je suis enchanté, parce que vous venez de lever toutes mes incertitudes

S'agissant de ceci:

Non, est le plus petit cardinal infini, c'est, par exemple, le cardinal de , mais aussi celui de .

Mais, et j'ai peur de générer encore un peu de confusion, et , par exemple sont des cardinaux plus grand que , ce sont donc des ordinaux (car un cardinal est un ordinal un peu particulier) dont le cardinal est eux-même (l'ordinal associé à est noté .

Vous m'apprenez quelque chose d'important: j'avais retenu de mes cours un point mal compris. Nous n'avions étudié que les ordinaux dont le cardinal est aleph 0 et j'avais, par erreur, compris que c'était le cas de tous les ordinaux (le cours allait beaucoup trop vite pour moi).

Un nouvel horizon (fascinant et terrifiant ) se découvre à moi : je viens de lire qu'un théorème de Zermelo montrait que tout ensemble pouvait être muni d'un bon ordre -alors que je croyais que ce n'était pas le cas pour les ensembles dont le cardinal est aleph 1.

[Médiat]

Bonjour très cher karlp

je viens de lire qu'un théorème de Zermelo montrait que tout ensemble pouvait être muni d'un bon ordre

Ce théorème est en fait équivalent à l'axiome du choix, et d'ailleurs c'est ce théorème qui justifie que dès que l'on veut travailler sur les cardinaux (*), on se place dans ZFC (donc avec axiome du choix) et non dans ZF, puisque l'on peut y démontrer que tout ensemble est isomorphe à un ou des ordinaux, et choisir le plus petit (c'est faisable avec les ordinaux), c'est ce plus petit ordinal dans la classe d'équipotence que l'on baptise cardinal.

(*) On peut étudier une notion de cardinal dans axiome du choix (du coup un cardinal n'est plus obligatoirement un ordinal, mais simplement une classe pour la relation d'équipotence, c'est à dire pour l'existence d'une bijection), mais c'est une notion moins "riche/fructueuse".

[karlp]

Je viens de lire sur wikipedia que l'ordinalité des réels n'était pas intuitive .
J'ignore pour quelle raison mais j'avais conservé l'idée fausse selon laquelle le successeur immédiat d'un nombre devait être identifiable pour que l'ensemble puisse être bien ordonné (encore un vieux préjugé métaphysique !).
Je vais essayer de m'informer un peu sur l'ordinalité de l'ensemble des réels.

[gg0]

Bonjour.

Si un ensemble est bien ordonné, tout élément a un unique successeur (le plus petit des majorants, qui existe puisque l'ensemble est bien ordonné). Quel rapport avec ce que tu appelles "l'ordinalité des réels" ? Et que veux-tu dire par cette expression ?

Cordialement.

[Médiat]

Je viens de lire sur wikipedia que l'ordinalité des réels n'était pas intuitive .

C'est le moins que l'on puisse dire

J'ignore pour quelle raison mais j'avais conservé l'idée fausse selon laquelle le successeur immédiat d'un nombre devait être identifiable pour que l'ensemble puisse être bien ordonné (encore un vieux préjugé métaphysique !).

Conservez cette idée, elle est juste, pour le démontrer, il suffit de dire que l'ensemble des éléments plus grand qu'un élément donné possède un plus petit élément qui est le successeur (mais ce n'est pas suffisant). Autrement dit, l'ordre naturel sur IR n'est pas un bon ordre ; avec l'axiome du choix, on sait qu'il existe un tel bon ordre, mais cela ne veut pas dire que l'on sait le construire.

Je vais essayer de m'informer un peu sur l'ordinalité de l'ensemble des réels.

J'ai peur que vous ne trouviez pas grand-chose, mais si c'est le cas, je suis intéressé.

[karlp]

Bonjour.

Si un ensemble est bien ordonné, tout élément a un unique successeur (le plus petit des majorants, qui existe puisque l'ensemble est bien ordonné). Quel rapport avec ce que tu appelles "l'ordinalité des réels" ? Et que veux-tu dire par cette expression ?

Cordialement.

Bonjour

Le théorème de Zermelo (équivalent à l'axiome du choix) dit que tout ensemble peut être muni d'un bon ordre.
Il existe donc un ordinal pour les réels et Médiat nous dit plus haut que l'ordinal associé à aleph 1 est omega 1.

Je croyais qu'il était impossible de déterminer le successeur immédiat d'un réel et pensais donc qu'il n'y avait pas d'ordinal pour quelqu'ensemble de réels.