Division par 0 !

[invite231234]

Hello world !

Que pensez-vous de ça :

Bon OK, c'est de la daube molle mais c'est sorti tout droit de mon esprit malade !

@ + peut être !
-----

[invite231234]

En fait ce que je voulais savoir c'est si

[erik]

0 et ne sont pas des ensembles.
ne s'utilise (et n'a de sens) qu'entre deux ensembles

[invite231234]

OK et si je prends l'ensemble {0} et |R est-ce que ma question a un sens : ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[erik]

On a 0

On a où est l'ensemble des parties de IR

Mais on n'a pas : l'ensemble IR contient les réels mais il ne contient pas l'ensemble {0}

[invite231234]

ça a un sens ça :

[erik]

c'est l'ensemble des parties de l'ensemble {0} c'est à dire l'ensemble lui même et l'ensemble vide donc

[Médiat]

En fait ce que je voulais savoir c'est si

On a bien .

L'ordinal 0 est bien égal à l'ensemble vide et est le plus petit ordinal infini, mais comme l'ensemble vide est inclu dans tous les ensembles, ce n'est pas très intéressant.

[leon1789]

On a 0

Mais on n'a pas : l'ensemble IR contient les réels mais il ne contient pas l'ensemble {0}

???
On a car tout élément de appartient à () .

[karlp]

Bonjour à tous

En reprenant mes vieux cours sur les ordinaux j'ai rencontré une question à laquelle je ne parviens pas à répondre, mais qui semblera sans doute très facile à certains d'entre vous (Médiat par exemple ):

Sauf erreur de ma part, l'ordinal 1 est élément de l'ordinal 2. Si je ne me trompe pas, ce point ne me pose pas de difficulté.
Est-ce que l'ordinal 0 est élément de l'ordinal 1 (j'ai l'impression que non) ou bien doit il être considéré comme une partie de celui -ci ?

Merci à vous

[invite76543456789]

Salut!
Les deux mon capitaine! Un ordinal est transitif, si S appartient a un ordinal, alors S est une partie de cet ordinal.
Par exmeple, l'ordinal 0 c'est le vide, l'ordinal 1 c'est {vide}, donc 0 appartient a 1, et 0 est aussi une partie de 1

[karlp]

Merci pour votre réponse.
Je crois que ma réticence à considérer que l'ensemble vide soit élément de 1 viens en partie de vieux préjugés métaphysiques qu'il me reste à débusquer.
Cela vient aussi d'un mauvais livre sur le sujet dans lequel j'avais lu que l'ordinal 3 (par exemple) désignait l'ensemble (1,2,3) ; ce qui poserait un autre problème: 3 serait élément de lui-même.

[karlp]

Me revient une autre question (j'abuse, pardonnez moi)

Si 0 est un élément, pourquoi Cantor désigne t'il le successeur immédiat de oméga par "omega+1" et pas "omega+0" ?

[gg0]

parce que le successeur est toujours +1; ou plus exactement qu'on définit n+1 comme le successeur de n.
Et aussi parce qu'on veut conserver n+0=0.

Cordialement.

[karlp]

Merci pour votre aide ggo (j'ai corrigé moi même n+0 = n)

J'ai du mal à formuler ce qui me perturbe et sans doute n'est-ce dû qu'à la confusion de ma pensée (j'ai lu que Cantor considérait que zéro n'était pas un vrai nombre et j'en cherche une raison)

[karlp]

Pouvez vous m'aider sur ce point : omega est-il l'ordinal de l'ensemble

A: 0,1,2,...., n,......

ou bien de l'ensemble:

B: 0,1,2,...., n,.... omega

[invite76543456789]

L'ordinal de ton premier ensemble est omega, l'ordinal du second est omega +1.

[Amanuensis]

Annulé. [Parfait doublon, même heure même minute.]

[invite231234]

Pardonnez-moi !

L'ordinal c'est le plus haut fait ? Et en ce qui concerne est-ce le plus petit nombre d'habitant d'un hôtel de Hilbert ?

[invite76543456789]

En fait une ordinal c'est un(e classe d') ensemble bien ordonné (toute partie non vide admet un plus petit element), pour chaque ordinal on a un representant distingué (c'est lui qu'en general on appelle ordinal), c'est un ensemble bien ordonné et transitif, on montre que pour tout ensemble bien ordonné est isomorphe a unique ensemble bien ordonné transitif.
Ces representants particuliers sont etc...
On forme le successeur d'un ordinal en "juxtaposant" cet ordinal et ses parties, si S est un ordinal son successeur sera S union{S}. Et comme on aime pas ecrire des ensemble a ralonge, on note le vide 0, 1={vide} etc...
A partir de là il y a deux classes d'ordinal, ceux qui sont le successeur d'un autre, et... les autres. Comme l'ensemble des ordinaux est bien ordonné (ahem...) on pose omega le plus petit ordinal qui ne soit pas le successeur d'un autre.
Omega n'est pas le plus haut, il a bien sur des successeurs, omega +1 etc...
Ce qu'il faut bien comprendre c'est qu'un ordinal c'est un ensemble et un ordre, du coup y a une hierarchie beaucoup plus fine entre les ordinaux qu'entre les cardinaux, omega, omega+1, 1+omega, omega^omega, tout ca ce sont des ordinaux differents et pourtant ils ont tous le meme nombre d'element (le meme cardinal).

[invite231234]

etc...
On forme le successeur d'un ordinal en "juxtaposant" cet ordinal et ses parties, si S est un ordinal son successeur sera S union{S}.

J'ai compris la différence entre cardinale exemple : qui représente le nombre d'éléments dans un ensemble ... et ordinale qui représente un ensemble "ordonné" mais que veut bien dire ordonné, sachant que ce que j'ai quoté est le plus petit ordinale ... non ?

[Amanuensis]

J'ai compris la différence entre cardinale exemple :

C'est et

EDIT : Le LaTeX local ne connaît pas \beth, la seconde lettre de l'alphabet hébraïque.

[invite76543456789]

Bon alors déjà le cardinal de R c'est , qui est strictement plus grand que .
Un ensemble ordonné (souvent abrége en poset) c'est un ensemble, muni d'une relation d'ordre.
Par exemple, l'ensemble, N, des entiers naturels muni de l'ordre naturel 0 <=1 <= 2 etc...
Vous pouvez aussi munir N d'une autre relation d'ordre par exemple vous decretez que tout nombre pair est plus grand que tout nombre impair, et vous mettez la relation naturelle entre les nombres pairs (resp impairs) entre eux. Ca vous donne un ensemble ordonné different du premier (il n'y a pas de bijection croissante entre les deux).
Ces deux ensembles sont bien ordonnées (je repete que cela veux dire que tout partie non vide admet un plus petit element). Ils ont le meme cardinal (), n'ont pas le meme ordinal (omega dand un cas, omega+omega dans l'autre).

Le plus petit ordinal, c'est 0.
Est ce plus clair?

[invite231234]

OK euh ... oui merci à Amanuensis et Misspacman pour leurs patiences ... il faut que je cogite dur !

[invite231234]

Bon, ça vient doucement est-ce une manière de caractériser l'approche d'un infini dans l'infini ?

[Médiat]

Comme l'ensemble des ordinaux est bien ordonné (ahem...)

A noter que le "ahem" de MissPacMan signifie que l'ensemble des ordinaux n'existe pas, c'est une classe.

omega, omega+1, 1+omega, omega^omega, tout ca ce sont des ordinaux differents

Pas tout à fait : .

et pourtant ils ont tous le meme nombre d'element (le meme cardinal).

C'est parfaitement exact, mais pour , c'est un peu plus compliqué à montrer, d'autant plus que

[Médiat]

EDIT : Le LaTeX local ne connaît pas \beth, la seconde lettre de l'alphabet hébraïque.

Aucune difficulté pour écrire ב

[invite76543456789]

Pas tout à fait : .

Arf, je me suis fait eu! Merci d'avoir rectifié!
edit: et tiens, tant que j'y suis pour omega^omega, c'est l'ordre lexico sur les suites d'entiers, dont l'ensemble sous jascent est bien denombrable, d'ou le fait qu'il ait le meme cardinal que omega.

[Médiat]

pour omega^omega, c'est l'ordre lexico sur les suites d'entiers, dont l'ensemble sous jascent est bien denombrable, d'ou le fait qu'il ait le meme cardinal que omega.

Vous êtes en train de dire que l'ensemble des suites d'entiers est de cardinal strictement inférieur à celui de l'ensemble des suites de 0 et de 1 .


Je vous mets la raison sous spoiler au cas où vous aimeriez chercher :

 Cliquez pour afficher

C'est l'ensemble des suites d'entiers à support fini (pour l'exponentiation ordinale) !

[invite76543456789]

Arf, décidement, je n'ecris que des betises! Désolé!