salut tout le monde je sollicite votre aide!
alors voila jai 2 question:
1) Peut-on construire des mesures sur autres structures que P(x),x ?
si oui puis je avoir des exemples
2) Est-ce que toute fonction verifiant le theoreme des valeurs intermediaires est mesurable?
Merci d'avance!
Pour la question 1), je n'ai pas compris ce que tu entendais par "structure P(x),x"
Pour la question 2), il me semble qu'il existe des fonctions non mesurables qui vérifient la propriété des valeurs intermédiaires (je suppose que c'est ce que tu veux dire, car dans le théorèmes des valeurs intermédiaires, la fonction est supposée continue, donc mesurable)
Déjà il existe des fonctions qui vérifient la propriété des valeurs intermédiaires, mais ne sont continues nul part. Un bon exemple est la fonction base 13 de Conway, pour laquelle l'image de n'importe quel intervalle est R tout entier :
http://en.wikipedia.org/wiki/Conway_base_13_function
Pour la question 1), je n'ai pas compris ce que tu entendais par "structure P(x),x"
Merci bcp tryss, j'entends par structure,un ensemble dont sa construction découlerait de P(X) ou X soit par intersection,union,complementa rité ou appartenance!
Je suis pas sûr d'avoir compris ta question 1 mais une mesure est définie sur une tribu, qui est un sous-ensemble de P(E) (l'ensemble des parties de E).
Par exemple peut-on definir une mesure sur les classe d'équivalence?
L'ensemble des classes d'équivalence n'est pas stable par complémentaire en général, donc ce n'est pas une tribu, donc on ne peut pas définir de mesure dessus.
Par exemple dans Z/3Z, le complémentaire de la classe de 0 est l'union des classes de 1 et de 2 et ce n'est pas une classe d'équivalence.
oui mais ont dit que le "semi-anneau est le plus petit ensemble sur lequel on peut definir une mesure",ne peut on pas definir un semi-anneau sur les classe d'equivalence? et ainsi pouvoir definir une mesure là dessus!
Je n'ai jamais vu les semi-anneaux, mais je viens de lire la définition et parmi les conditions d'un semi-anneau est qu'il contienne l'ensemble vide, or par définition une classe d'équivalence n'est jamais vide. Après il est vraie que si on rajoute l'ensemble vide, ça devient un semi anneau et on peut y définir une "mesure sur un semi anneau", de même qu'il existe des "mesures d'algèbre" sur les algèbres de Bool, par contre il me semble que lorsqu'on dit "mesure" tout court, ça sous entend que c'est sur une tribu !
D'accord merci beaucoup pour ton aide mais une derniere question
tu m'as dit plus haut que toute fonction verifiant le TVI n'est pas forcément continu, mais est ce que les fonctions non-continu verifiant le TVI sont mesurables? par exemple Sin(1/x) si x diferen de 0 et f(0)=0
