Exhiber l'existence d'une suite.

[sknbernoussi]

Bonjour,
je voudrai montrer la proposition suivante :
si est une série divergente à termes strictement positifs, alors il existe une suite de réels positifs tendant vers 0, telle que diverge.
Je ne vois pas où chercher la suite a, je ne peux utiliser aucun théorème de comparaison des séries à termes positifs ...
Je suis tout à fait bloquée !
Qu'en pensez vous ?
Cordialement.
-----

[sknbernoussi]

La série est divergente et à termes positifs, donc sa somme est égale à l'infini....

[Tiky]

Bonjour,

Une méthode expéditive consiste à utiliser la sommation d'Abel. Soit une suite de réels positifs.
La sommation d'Abel (qui est simplement l'intégration par parties adaptée aux suites) dit que :
avec

Comme les pour tout entier n, alors pour tout entier k et la suite est croissante.
Alors convient.

Note : ça reste vrai si tu supposes seulement la suite positive et non strictement positive.
En effet la somme était divergente, un des termes de cette suite est nécessairement strictement positif et donc pour k assez grand, est strictement positif.

[sknbernoussi]

Avec , on a avec la transformation d'Abel . La première somme diverge grossièrement, mais pour la deuxième ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Oulala, ce n'est pas du tout ça ! Attention à bien faire la différence entre u minuscule et U majuscule dans mon message.

[sknbernoussi]

La suite a est bien l'inverse de la racine du grand U !

[Tiky]

Oui, alors je ne vois pas comment tu peux trouver que ???

[sknbernoussi]

[Tiky]

Ok, mais ça sert à rien... c'était déjà sous une forme où tu pouvais conclure au départ et c'était précisément l'intérêt de la transformation d'Abel.

Tu as que qui diverge vers . Comme est croissante et positive, alors est décroissante.
Donc . Finalement et .

[sknbernoussi]

Oui, je te l'accorde c'est plus simple comme ça, et je te remercie aussi.
Tu sais, au début, quand j'ai à peine lu à propos de la transformation d'Abel, je me suis dit que ça ne servirait pas tellement, mais au fil des problèmes, je reconnais que j'ai mal agi à l'égard d'Abel !

[Tiky]

De rien. Garde l'analogie entre transformation d'Abel et intégration par partie, ça permet souvent de savoir quand l'utiliser.
Avec la même méthode tu trouves aussi que :
Soit une suite de réels positifs telle que ,
alors il existe une suite positive et divergent vers telle que .

[sknbernoussi]

Oui, exact .