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Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...



  1. #1
    martini_bird

    Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...


    ------

    Salut,

    il y a quelques temps, je suis tombé par hasard sur un bouquin de constructions géométriques amusantes, dont une figure est la cardioïde comme enveloppe de droites dans un cercle (voir figure sur cette page juste avant le 3).

    Le principe est assez simple: il suffit à partir de chaque racines n-ième de l'unité de construire les segments qui relient les itérés de la suite , (qui finissent par boucler au bout de n itérations au plus). L'enveloppe de ces segments ressemble à une cardioïde (pour n grand).

    Du coup j'ai essayé d'autres relations de récurrence et en cherchant j'ai vu que la suite , donne une néphroïde. De même la suite , donne une courbe à k-1 points de rebroussements. Si k est rationnel la courbe ne boucle pas et ressemble vaguement à une (ou une réunion de) spirale (si ça vous intéresse, je pourrais poster les courber que j'obtiens).

    Mais en prenant d'autres formules, aucune structure ne semble apparaître. Ma question donc: connaissez vous d'autres courbes ou figures qui peuvent être construites par ce procédé?

    Amicalement.

    PS: si vous avez le temps, je vous invite à essayer, c'est vraiment funny!

    -----

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  3. #2
    matthias

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    Sympa je ne connaissais pas du tout cette méthode.
    Pour la néphroïde on peut la voir ici obtenue de la même manière :
    http://melusine.eu.org/syracuse/bbgr.../nephroide.xml

  4. #3
    martini_bird

    Wink Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    Salut,

    pour le plaisir des yeux, je vous présente quelques productions.

    Si quelqu'un est intéressé, je peux mettre le code (pas très long, en caml).

    A chaque fois, on trace tous les segments qui relient e(un) à e(un+1) pour chaque u(0)=e(k). (e(x)= où N est le nombre de points)

    La première figure est la cardioïde: , N=128.
    Puis la néphroïde: , N=128.
    Et une courbe à 3 points de rebroussement: , N=128.

    Cordialement.
    Images attachées Images attachées
    Dernière modification par martini_bird ; 09/12/2005 à 13h34.

  5. #4
    martini_bird

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    La suite:

    Pour la première figure: , N=512.
    La seconde: , N=256.
    La dernière: , N=256.

    Cordialement.
    Images attachées Images attachées

  6. #5
    martini_bird

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    Une petite dernière:

    , N=256
    Images attachées Images attachées

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    matthias

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    Il me semble que (sauf pour la dernière) tu obtiens des courbes d'équation:




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  10. #7
    martini_bird

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    Peut-être, je n'ai pas fait les calculs.

    Mais ça doit être ça (en tout cas pour les exemples que j'ai essayés...).

    Bravo!

  11. #8
    Bleyblue

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    Moi aussi j'aime bien m'amuser avec de jolies courbes comme celles-la.

    Mais je fait ça avec leurs équations (paramétriques) et ma calculatrice graphique car je n'avais aucun autre moyen.

    Faudra que j'essaie cette méthode lorsque j'aurai un peu plus de temps

  12. #9
    matthias

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    Citation Envoyé par martini_bird
    Mais ça doit être ça (en tout cas pour les exemples que j'ai essayés...).
    Tu me rassures parce que je n'avais pas les moyens de tracer les courbes en question, et la flemme de vérifier à la main. Mais comme le résultat avait l'air plutôt joli, j'avais quand-même relativement confiance

  13. #10
    matthias

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    La courbe obtenue pour k = PI a l'air assez sympa (enfin sans les droites sinon ça risque d'être le bazar).

  14. #11
    martini_bird

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    Citation Envoyé par matthias
    La courbe obtenue pour k = PI a l'air assez sympa (enfin sans les droites sinon ça risque d'être le bazar).
    Avec , c'est pas très joli, mais en prenant par exemple on a "un tour" complet dans le cercle. Very nice en effet.

    Mais la courbe ne "boucle" pas, ce qui n'est pas surprenant puisque que n'est pas rationnel.

  15. #12
    matthias

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    Oui, il faudrait une valeur rationnelle proche de PI.

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  17. #13
    martini_bird

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    Citation Envoyé par matthias
    Oui, il faudrait une valeur rationnelle proche de PI.
    k=3.3 marche bien

  18. #14
    matthias

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    C'est vrai.
    Au fait merci martini, je viens de remettre des piles dans ma HP 48 qui n'avait pas servie depuis des années
    Comme quoi une calculatrice ça peut être utile en fin de compte ...

  19. #15
    martini_bird

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    Citation Envoyé par matthias
    Au fait merci martini, je viens de remettre des piles dans ma HP 48 qui n'avait pas servie depuis des années
    [MODE=HS]Ca me fait plaisir de ne pas être le seul utilisateur de cette antiquité... [/MODE]

  20. #16
    matthias

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    Citation Envoyé par martini_bird
    Mais en prenant d'autres formules, aucune structure ne semble apparaître. Ma question donc: connaissez vous d'autres courbes ou figures qui peuvent être construites par ce procédé?
    Quelle genre de relations de récurrences as-tu essayé au fait ? Les doubles récurrences linéaires ça ne donne rien ?

  21. #17
    martini_bird

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    Avec les notations du message #3, j'ai essayé les polynômes avec P de degré 2 ou 3, mais rien de probant.

    Je n'ai pas essayé les relations pour les simples raisons que je n'y ai pas pensé et qu'il aurait fallu que je remanie le code...

    Merci en tout cas pour les idées!

  22. #18
    matthias

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    Au fait, est-ce que l'ensemble de ces courbes n'est pas tout simplement celui des épicycloïdes ?
    http://www.mathcurve.com/courbes2d/e...icycloid.shtml

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  24. #19
    martini_bird

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    Citation Envoyé par matthias
    Au fait, est-ce que l'ensemble de ces courbes n'est pas tout simplement celui des épicycloïdes ?
    http://www.mathcurve.com/courbes2d/e...icycloid.shtml
    En tout cas ça y ressemble fortement!

  25. #20
    matthias

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    Un peu de HS, mais j'ai trouvé un truc assez génial sur le même site (enfin je trouve) : la forme de la pièce de 20 pence.
    http://www.mathcurve.com/courbes2d/l...onstante.shtml

  26. #21
    baryon

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    merci il est trop bien ce topic!!!
    Le chemin le plus court d'un point à un autre c'est de ne pas y aller.

  27. #22
    matthias

    Re : Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

    Citation Envoyé par baryon
    merci il est trop bien ce topic!!!
    Oui les courbes ont toujours du succès (enfin tant qu'on ne rentre pas dans les calculs compliqués )

    Dans les grands classiques, il y a aussi l'astroïde:


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