f(x)=f(2x) et autres

[invite29e48b79]

Salut

alors voilà je cherchais alors que je m'emmerdais (ué je sais j'ai des passions ) si il existait des fonctions qui vérifient :
qq soit x > 0, f(x)=f(2x)
, donc déjà les fonctions constantes marchent pas mal
ensuite je suis arrivé au fait que pour faire une telle fonction, je prend par ex l'intervalle [1;2[ sur lequel je fais ce que je veux et ensuite je reporte cette courbe sur des intervalles 2 fois plus grands à droite et 2 fois plus petits à gauche...
en m'arrangeant pour prendre lim à gauche f(2) = f(1) j'ai une fonction qui peut etre continue donc c'est cool mais j'ai quelques questions :
quelle va etre la limite à droite en 0 ? A priori je dirais qu'il y en a pas mais je trouve ça bizarre
Est-ce que le seul moyen pour que cette fonction soit dérivable en 1, 2, 4, 2^n... est d'avoir une tangente horizontales pour ces points ?

Et plus dur , parce que là j'en ai aucune idée
f(x) = f(k*x) on peut donc le construire facillement
esce que si j'ai en général u(x) une bijection de IR+ sur IR+ il existe toujours une fonction vérifiant :
pour tout x>0, f(x) = f(u(x)), ou alors c'est valable uniquement dans le cas de u(x) = kx ?

Voilà c'est pas du tout préssé comme réponse c'est jsute parce que je suis curieux
Merci
-----

[inviteab2b41c6]

Si tu veux que ta fonction soit continue, tu n'as pas le choix qu'elle soit constante.

Sinon ca me semble difficile d'exhiber une telle fonction non constante.

[invitec314d025]

Si tu veux que ta fonction soit continue, tu n'as pas le choix qu'elle soit constante.

Sinon ca me semble difficile d'exhiber une telle fonction non constante.

Si on veut qu'elle soit continue en 0, alors oui il faut qu'elle soit constante, ce qui est la réponse à cette question :

quelle va etre la limite à droite en 0 ? A priori je dirais qu'il y en a pas mais je trouve ça bizarre

Mais si on ne s'intéresse qu'à ]0;+infini[ elle n'a pas de raison d'être constante.

Est-ce que le seul moyen pour que cette fonction soit dérivable en 1, 2, 4, 2^n... est d'avoir une tangente horizontales pour ces points ?

Non, ça doit marcher si tu te débrouilles pour avoir une dérivée en 1 qui soit le double de la dérivée en 2.

[invitea3eb043e]

Ta proposition paraît attrayante, par exemple une sinusoïde entre 1 et 2 qui s'annule en 1 et 2. Tu reportes à droite entre 2 et 4 puis entre 4 et 8, etc..; tu peux faire de même entre 0,5 et 1, etc...
Le fonction sera continue sur ]0, +oo[
Mais même si tu complètes par f(0) = 0, elle ne peut être continue en 0 car cela signifierait que quand on se rapproche de 0, elle devient arbitrairement petite sur un intervalle, ce qui n'est pas le cas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6de5f0ac]

Ta proposition paraît attrayante, par exemple une sinusoïde entre 1 et 2 qui s'annule en 1 et 2. Tu reportes à droite entre 2 et 4 puis entre 4 et 8, etc..; tu peux faire de même entre 0,5 et 1, etc...
Le fonction sera continue sur ]0, +oo[
Mais même si tu complètes par f(0) = 0, elle ne peut être continue en 0 car cela signifierait que quand on se rapproche de 0, elle devient arbitrairement petite sur un intervalle, ce qui n'est pas le cas.

De mémoire, f(x) = sin (1/x) fait l'affaire, à condition de la "recadrer" pour avoir f(x) = f(2x), évidemment.

Et elle est notoirement discontinue en 0. Bien que continue partout ailleurs. Exo de math'sup', mais qui ne requiert que la définition de la continuité.

-- françois.

[invitea3eb043e]

De mémoire, f(x) = sin (1/x) fait l'affaire, à condition de la "recadrer" pour avoir f(x) = f(2x), évidemment.

Je crains que ce ne soit un peu plus compliqué que ça.
Il faut écrire :
x = u * 2^n avec 1<=u<2
donc n = E(log2(x)) (partie entière du log à base 2 de x)
et ensuite :
f(x) = sin (2*pi*(u-1))

[invite35452583]

Jolie question, bravo lezebulon.

Le problème n'est intéressant que si u est continue. En fait, ce cas se traite presque entièrement comme u(x)=2x.

Temporairement u est une bijection de ]a,b[ avec u(x)x pour tout x. a et b peuvent être


On a f constant sur
Reste à trouver un intervalle J tel que chaque ensemble U(x) ait un élément et un seul dans J.
Deux cas : u est croissante ou u est décroissante
Dans le 1er cas [x,u(x)[ convient
unicité du fait de la stricte croissance.
existence :
est décroissante donc converge vers l (avec éventuellement l=) ot l vérifie u(l)=l impossible d'après la condition mise. Donc il existe n0 tel que pour n<n0, [TEX]u^{-n0}<x[TEX].
De même tend vers b. Donc il existe n1 tel que pour n>n1, .
Donc le maximum n2 des n telsque existe. Par la stricte croisssance de u, on en déduit que .
Et, on conclue comme pour le cas u(x)=2x.
Dans le cas général, on découpe le domaine du départ en des intervalles ]a,b[ sans points fixes mais avec a et b points fixes. Les points fixes de u se répartissant en points isolés et en intervalles sur lesquels u(x)=x).
Les points fixes sur le bord (type a et b) sont des points de discontinuité sauf si f est constant sur ]a,b[

Dans le second cas, u décroissante. u a un unique point fixe.
u² est croisssante. On vérifie aisément que [x,u²(x)[ convient (celui-ci est dit pair), les intervalles se répartissent entre pairs et impairs (type [u(x) et u^3(x)[ les uns étant à gauche de l'unique point fixe les autres de l'autre côté de ce dernier. L'unique point fixe est un point de discontinuité si f n'est pas constante.

[invite4ef352d8]

je te propose :

f(x) = sin(ln(x)*2*Pi/ln(k))


f(K*x) = sin( ln(k*x)*2*Pi/ln(k) ) = sin ( ln(x)*2*Pi/ln(k) +2*Pi ) = f(x) !



f est continu sur ]0,+oo[ et na effectivement pas de limite en 0 .

[inviteca3a9be7]

Salut,


Un exemple de fonction nulle-part continue qui marche : l'indicatrice de Q (f(x) = 0 sur R\Q et 1 sur Q)

[invite4e5046fc]

Salut !!
Dans presque le même bain des équations fonctionnelles , je vous propose de trouver toutes les fonctions de R dans R qui vérifient : f'(x)=f(-x) ?

____________________________
A1

[inviteca3a9be7]

On redérive ça donne f"(x) = -f(x) et là c'est très connu

[invite35452583]

Salut !!
Dans presque le même bain des équations fonctionnelles , je vous propose de trouver toutes les fonctions de R dans R qui vérifient : f'(x)=f(-x) ?

____________________________
A1

k(cos(x)+sin(x))? k, constante. En tout cas chez les analytiques, il n'y a qu'elles.

[invite4e5046fc]

On redérive ça donne f"(x) = -f(x) et là c'est très connu

c'est exactement ca oui ! mais il faut expliquer juste le fait que f soit deux fois dérivable.

Homotopie , oui c'est à peu près ça ! tous calculs faits , ça me donne : k cos ( x - pi/4 ) . k étant un réel.

Cordialement .
_________________________
A1

[invite35452583]

Tiens personne n'a remarqué un petit problème ou deux dans ma démo sur f(x)=f(u(x)).
1er cas : u croissante pas de problème si u(x)>x. Un petit si u(x)<x, bon on inverse il faut prendre [u(x),x[ et puis on applique le même raisonnement sauf que ça tend vers a pour n tendant vers et vers b dans l'autre sens.
2ème cas : nos pauvres fonctions impaires les voilà devenues nécessairement discontinues en 0. On reprend u² est croissante on applique ce qui précède sauf que u² peut avoir de nouveaux points fixes (tous pour u(x)=-x).
Mais bon tout le monde aura corrigé
Exemple sans points de discontinuité sur R : les fonctions périodiques.

[invite6de5f0ac]

Je crains que ce ne soit un peu plus compliqué que ça.
Il faut écrire :
x = u * 2^n avec 1<=u<2
donc n = E(log2(x)) (partie entière du log à base 2 de x)
et ensuite :
f(x) = sin (2*pi*(u-1))

C'est ce que je voulais dire par "recadrer"...Il est clair qu'une simple homothétie ne suffit pas, puisque le recadrage devra lui-même respecter f(x) = f(2x), ou quelque chose du même style.

Mais je n'avais pas le détail en tête, et il faut bien laisser du boulot aux autres!

-- françois