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f(x)=f(2x) et autres



  1. #1
    lezebulon

    f(x)=f(2x) et autres


    ------

    Salut

    alors voilà je cherchais alors que je m'emmerdais (ué je sais j'ai des passions ) si il existait des fonctions qui vérifient :
    qq soit x > 0, f(x)=f(2x)
    , donc déjà les fonctions constantes marchent pas mal
    ensuite je suis arrivé au fait que pour faire une telle fonction, je prend par ex l'intervalle [1;2[ sur lequel je fais ce que je veux et ensuite je reporte cette courbe sur des intervalles 2 fois plus grands à droite et 2 fois plus petits à gauche...
    en m'arrangeant pour prendre lim à gauche f(2) = f(1) j'ai une fonction qui peut etre continue donc c'est cool mais j'ai quelques questions :
    quelle va etre la limite à droite en 0 ? A priori je dirais qu'il y en a pas mais je trouve ça bizarre
    Est-ce que le seul moyen pour que cette fonction soit dérivable en 1, 2, 4, 2^n... est d'avoir une tangente horizontales pour ces points ?

    Et plus dur , parce que là j'en ai aucune idée
    f(x) = f(k*x) on peut donc le construire facillement
    esce que si j'ai en général u(x) une bijection de IR+ sur IR+ il existe toujours une fonction vérifiant :
    pour tout x>0, f(x) = f(u(x)), ou alors c'est valable uniquement dans le cas de u(x) = kx ?

    Voilà c'est pas du tout préssé comme réponse c'est jsute parce que je suis curieux
    Merci

    -----

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  3. #2
    Quinto

    Re : f(x)=f(2x) et autres

    Si tu veux que ta fonction soit continue, tu n'as pas le choix qu'elle soit constante.

    Sinon ca me semble difficile d'exhiber une telle fonction non constante.

  4. #3
    matthias

    Re : f(x)=f(2x) et autres

    Citation Envoyé par Quinto
    Si tu veux que ta fonction soit continue, tu n'as pas le choix qu'elle soit constante.

    Sinon ca me semble difficile d'exhiber une telle fonction non constante.
    Si on veut qu'elle soit continue en 0, alors oui il faut qu'elle soit constante, ce qui est la réponse à cette question :
    Citation Envoyé par lezebulon
    quelle va etre la limite à droite en 0 ? A priori je dirais qu'il y en a pas mais je trouve ça bizarre
    Mais si on ne s'intéresse qu'à ]0;+infini[ elle n'a pas de raison d'être constante.

    Citation Envoyé par lezebulon
    Est-ce que le seul moyen pour que cette fonction soit dérivable en 1, 2, 4, 2^n... est d'avoir une tangente horizontales pour ces points ?
    Non, ça doit marcher si tu te débrouilles pour avoir une dérivée en 1 qui soit le double de la dérivée en 2.

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : f(x)=f(2x) et autres

    Ta proposition paraît attrayante, par exemple une sinusoïde entre 1 et 2 qui s'annule en 1 et 2. Tu reportes à droite entre 2 et 4 puis entre 4 et 8, etc..; tu peux faire de même entre 0,5 et 1, etc...
    Le fonction sera continue sur ]0, +oo[
    Mais même si tu complètes par f(0) = 0, elle ne peut être continue en 0 car cela signifierait que quand on se rapproche de 0, elle devient arbitrairement petite sur un intervalle, ce qui n'est pas le cas.

  6. #5
    fderwelt

    Re : f(x)=f(2x) et autres

    Citation Envoyé par Jeanpaul
    Ta proposition paraît attrayante, par exemple une sinusoïde entre 1 et 2 qui s'annule en 1 et 2. Tu reportes à droite entre 2 et 4 puis entre 4 et 8, etc..; tu peux faire de même entre 0,5 et 1, etc...
    Le fonction sera continue sur ]0, +oo[
    Mais même si tu complètes par f(0) = 0, elle ne peut être continue en 0 car cela signifierait que quand on se rapproche de 0, elle devient arbitrairement petite sur un intervalle, ce qui n'est pas le cas.
    De mémoire, f(x) = sin (1/x) fait l'affaire, à condition de la "recadrer" pour avoir f(x) = f(2x), évidemment.

    Et elle est notoirement discontinue en 0. Bien que continue partout ailleurs. Exo de math'sup', mais qui ne requiert que la définition de la continuité.

    -- françois.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jeanpaul

    Re : f(x)=f(2x) et autres

    Citation Envoyé par fderwelt
    De mémoire, f(x) = sin (1/x) fait l'affaire, à condition de la "recadrer" pour avoir f(x) = f(2x), évidemment.
    Je crains que ce ne soit un peu plus compliqué que ça.
    Il faut écrire :
    x = u * 2^n avec 1<=u<2
    donc n = E(log2(x)) (partie entière du log à base 2 de x)
    et ensuite :
    f(x) = sin (2*pi*(u-1))

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  10. #7
    homotopie

    Re : f(x)=f(2x) et autres

    Jolie question, bravo lezebulon.

    Le problème n'est intéressant que si u est continue. En fait, ce cas se traite presque entièrement comme u(x)=2x.

    Temporairement u est une bijection de ]a,b[ avec u(x)x pour tout x. a et b peuvent être


    On a f constant sur
    Reste à trouver un intervalle J tel que chaque ensemble U(x) ait un élément et un seul dans J.
    Deux cas : u est croissante ou u est décroissante
    Dans le 1er cas [x,u(x)[ convient
    unicité du fait de la stricte croissance.
    existence :
    est décroissante donc converge vers l (avec éventuellement l=) ot l vérifie u(l)=l impossible d'après la condition mise. Donc il existe n0 tel que pour n<n0, [TEX]u^{-n0}<x[TEX].
    De même tend vers b. Donc il existe n1 tel que pour n>n1, .
    Donc le maximum n2 des n telsque existe. Par la stricte croisssance de u, on en déduit que .
    Et, on conclue comme pour le cas u(x)=2x.
    Dans le cas général, on découpe le domaine du départ en des intervalles ]a,b[ sans points fixes mais avec a et b points fixes. Les points fixes de u se répartissant en points isolés et en intervalles sur lesquels u(x)=x).
    Les points fixes sur le bord (type a et b) sont des points de discontinuité sauf si f est constant sur ]a,b[

    Dans le second cas, u décroissante. u a un unique point fixe.
    u² est croisssante. On vérifie aisément que [x,u²(x)[ convient (celui-ci est dit pair), les intervalles se répartissent entre pairs et impairs (type [u(x) et u^3(x)[ les uns étant à gauche de l'unique point fixe les autres de l'autre côté de ce dernier. L'unique point fixe est un point de discontinuité si f n'est pas constante.

  11. #8
    Ksilver

    Re : f(x)=f(2x) et autres

    je te propose :

    f(x) = sin(ln(x)*2*Pi/ln(k))


    f(K*x) = sin( ln(k*x)*2*Pi/ln(k) ) = sin ( ln(x)*2*Pi/ln(k) +2*Pi ) = f(x) !



    f est continu sur ]0,+oo[ et na effectivement pas de limite en 0 .

  12. #9
    µµtt

    Re : f(x)=f(2x) et autres

    Salut,


    Un exemple de fonction nulle-part continue qui marche : l'indicatrice de Q (f(x) = 0 sur R\Q et 1 sur Q)

  13. #10
    A1

    Re : f(x)=f(2x) et autres

    Salut !!
    Dans presque le même bain des équations fonctionnelles , je vous propose de trouver toutes les fonctions de R dans R qui vérifient : f'(x)=f(-x) ?

    ____________________________
    A1

  14. #11
    µµtt

    Re : f(x)=f(2x) et autres

    On redérive ça donne f"(x) = -f(x) et là c'est très connu

  15. #12
    homotopie

    Re : f(x)=f(2x) et autres

    Citation Envoyé par A1
    Salut !!
    Dans presque le même bain des équations fonctionnelles , je vous propose de trouver toutes les fonctions de R dans R qui vérifient : f'(x)=f(-x) ?

    ____________________________
    A1
    k(cos(x)+sin(x))? k, constante. En tout cas chez les analytiques, il n'y a qu'elles.

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  17. #13
    A1

    Re : f(x)=f(2x) et autres

    Citation Envoyé par µµtt
    On redérive ça donne f"(x) = -f(x) et là c'est très connu
    c'est exactement ca oui ! mais il faut expliquer juste le fait que f soit deux fois dérivable.

    Homotopie , oui c'est à peu près ça ! tous calculs faits , ça me donne : k cos ( x - pi/4 ) . k étant un réel.

    Cordialement .
    _________________________
    A1

  18. #14
    homotopie

    Re : f(x)=f(2x) et autres

    Tiens personne n'a remarqué un petit problème ou deux dans ma démo sur f(x)=f(u(x)).
    1er cas : u croissante pas de problème si u(x)>x. Un petit si u(x)<x, bon on inverse il faut prendre [u(x),x[ et puis on applique le même raisonnement sauf que ça tend vers a pour n tendant vers et vers b dans l'autre sens.
    2ème cas : nos pauvres fonctions impaires les voilà devenues nécessairement discontinues en 0. On reprend u² est croissante on applique ce qui précède sauf que u² peut avoir de nouveaux points fixes (tous pour u(x)=-x).
    Mais bon tout le monde aura corrigé
    Exemple sans points de discontinuité sur R : les fonctions périodiques.

  19. #15
    fderwelt

    Re : f(x)=f(2x) et autres

    Citation Envoyé par Jeanpaul
    Je crains que ce ne soit un peu plus compliqué que ça.
    Il faut écrire :
    x = u * 2^n avec 1<=u<2
    donc n = E(log2(x)) (partie entière du log à base 2 de x)
    et ensuite :
    f(x) = sin (2*pi*(u-1))
    C'est ce que je voulais dire par "recadrer"...Il est clair qu'une simple homothétie ne suffit pas, puisque le recadrage devra lui-même respecter f(x) = f(2x), ou quelque chose du même style.

    Mais je n'avais pas le détail en tête, et il faut bien laisser du boulot aux autres!

    -- françois

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