Problème équivalent

[invitef8f652fc]

Bonjour ca fait plusieurs heures que je galère pour trouver un équivalent, j'aurais besoin de votre avis.
On a une suite définie par .
On montre facilement qu'elle tend vers 0. Le but est de trouver un équivalent.

En posant on montre par Césaro que :

De plus on a aussi (en utilisant )



Je suis bloqué car je n'arrive pas à ma débarasser du log (on ne peut à priori pas prendre l'exponentielle car la différence ne tend par forcément vers 0) et je ne vois pas comment exploiter la deuxième relation car si on développe on a qui supprime donc tous les termes à gauches (car infiniement grand) donc on revient à ...
Qu'en pensez-vous ?
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[0577]

Bonsoir,

une manière parmi d'autres de voir les choses :

pour passer à l'exponentielle dans , on aimerait montrer que la différence tend vers 0.
C'est possible par une estimation grossière de .
Une proposition : choisir C strictement entre 1/2 et 1 (un choix sans importance)
et montrer que

[phys4]

On montre facilement qu'elle tend vers 0. Le but est de trouver un équivalent.

Bonsoir,

Pour ce problème, le log n'apporte que des ennuis : si vous prenez Un proche de la limite, vous pouvez remplacer le second terme du produit par 1 et il reste la suite approximative

car

Sous cette forme, l'équivalent devient simple.

[0577]

J'ai dit une petite bêtise : la différence ne tend pas vers 0 mais ce n'est pas grave,
c'est en fait une constante (explicite ...) plus un terme tendant vers 0.

Remarque : la réponse de phys4 est évidemment la méthode à employer pour deviner l'équivalent.
Mais après cela, il reste à faire une preuve (ce qui peut se faire sans log, en effet)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef8f652fc]

Merci pour vos réponses mais je ne vois pas toujours pas comment montrer que la différence est une constante plus un petit o (vous utilisez un théorème ? car je ne vois pas vraiment comment avancer avec le peu d'information que l'on a sur le comportement asymptotique de Un).

Quant à la méthode de phys4, j'avais plus ou moins conjecturé que l'équivalent était mais en fouillant un peu (notamment en utilisant l'inégalité des accroissements fini, le résultat semble dépendre aussi de ), je sèche sur la démonstration.