Matrice Jordanisable et sous espace complémentaire !
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Matrice Jordanisable et sous espace complémentaire !



  1. #1
    ichigo01

    Matrice Jordanisable et sous espace complémentaire !


    ------

    Salut à tous,

    Lorsqu'on a une matrice diagonalisable dans E, l'espace E peut s'écrire comme la somme directe de l'image de A et son noyau.
    Dans le cas où une matrice n'est pas diagonalisable, mais Jordanisable dans E est ce qu'on peut écrire E comme la somme directe de l'image de A et un sous espace complémentaire C, est ce qu'on peut déterminer C ?

    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    Tiky

    Re : Matrice Jordanisable et sous espace complémentaire !

    Bonjour,

    Citation Envoyé par ichigo01 Voir le message
    Lorsqu'on a une matrice diagonalisable dans E, l'espace E peut s'écrire comme la somme directe de l'image de A et son noyau.
    J'ai peut-être mal compris mais ça semble bien faux.

  3. #3
    ichigo01

    Re : Matrice Jordanisable et sous espace complémentaire !

    Citation Envoyé par Tiky Voir le message
    Bonjour,
    J'ai peut-être mal compris mais ça semble bien faux.
    Désolé, j'ai oublié d'ajouter que det(A) = 0, c'est à dire que 0 est un valeur propre de A.

    Merci.

  4. #4
    Tiky

    Re : Matrice Jordanisable et sous espace complémentaire !

    C'est toujours faux. Les seuls endomorphismes dont l'image et le noyau sont supplémentaires sont les projections. Elles sont effectivement diagonalisables puisque annule toute projection.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ichigo01

    Re : Matrice Jordanisable et sous espace complémentaire !

    Vous avez vérifiez ? car si A est diagonalisable dans E et 0 est une valeur propre de A. On sait que E va s'écrire comme somme directe des sous espaces propres.
    Le sous espace propre associé à 0 n'est autre que le ker(A) et on montre facilement que la somme directe des autres sous espaces propres est égale à Im(A).

    Corrigez moi si je me trompe. Merci.
    Dernière modification par ichigo01 ; 31/05/2012 à 00h00.

  7. #6
    Tiky

    Re : Matrice Jordanisable et sous espace complémentaire !

    Pour toi pour tout endomorphisme non inversible f, on a ?

    En revanche, ce que j'ai dit est aussi faux. Il y a des endomorphismes qui ne sont pas des projections et dont noyau et image sont supplémentaires.

  8. #7
    ichigo01

    Re : Matrice Jordanisable et sous espace complémentaire !

    La somme directe des sous espaces propres l'impose !

  9. #8
    Tiky

    Re : Matrice Jordanisable et sous espace complémentaire !

    Bon si tu insistes, un contre-exemple :


    Alors ker A = Im A.

  10. #9
    invite76543456789
    Invité

    Re : Matrice Jordanisable et sous espace complémentaire !

    Bonjour,
    Il a écrit
    Lorsqu'on a une matrice diagonalisable dans E, l'espace E peut s'écrire comme la somme directe de l'image de A et son noyau.
    ce qui est correct.

  11. #10
    Tiky

    Re : Matrice Jordanisable et sous espace complémentaire !

    Alors toutes mes excuses, j'avais tort depuis le début.

  12. #11
    0577

    Re : Matrice Jordanisable et sous espace complémentaire !

    Bonsoir,
    je reviens à la question initiale.
    Soit A un endomorphisme de E espace vectoriel de dimension finie.
    Im A est un sous-espace vectoriel de E, il admet donc un sous-espace supplémentaire :
    ceci n'est bien sûr pas une réponse car il existe en général beaucoup de supplémentaires
    et il est implicite dans la question qu'on recherche un supplémentaire "canonique", dépendant de f.
    Le sens de "canonique" étant à préciser et puisque je n'en vois pas de naturel, je me contente de deux
    remarques :
    1) si Im A admet un supplémentaire F stable par A alors nécessairement F = Ker A
    (en effet, si x est dans F, alors A(x) est dans Im A et dans F donc est nul)
    2)Bien sûr, on n'a pas toujours E=KerAImA mais il existe toujours r
    entier tel que (c'est la décomposition de Fitting).

  13. #12
    ichigo01

    Re : Matrice Jordanisable et sous espace complémentaire !

    D'accord,

    Dans la question initiale j'avais oublié de mentionner que 0 était une valeur propre de A.

    Merci.
    Dernière modification par ichigo01 ; 31/05/2012 à 23h26.

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